(i) 厚さ12mmのガラス板の熱貫流率を求め、面積1.0 m$^2$、温度差10℃のときの熱流H[W]を求める。ガラスの熱伝導率は0.55 W/(m・K)。 (ii) 熱貫流率が$\lambda_1$, $\lambda_2$の2枚の板を張り合わせた合板の熱貫流率$\lambda$は $\frac{1}{\lambda} = \frac{1}{\lambda_1} + \frac{1}{\lambda_2}$ を満たすことを示す。 (iii) 厚さ10mmのアルミ板と20mmの銅板を張り合わせた板の熱貫流率を求める。

1. 問題の内容

(i) 厚さ12mmのガラス板の熱貫流率を求め、面積1.0 m$^2$、温度差10℃のときの熱流H[W]を求める。ガラスの熱伝導率は0.55 W/(m・K)。

(ii) 熱貫流率が$\lambda_1$, $\lambda_2$の2枚の板を張り合わせた合板の熱貫流率$\lambda$は $\frac{1}{\lambda} = \frac{1}{\lambda_1} + \frac{1}{\lambda_2}$ を満たすことを示す。

(iii) 厚さ10mmのアルミ板と20mmの銅板を張り合わせた板の熱貫流率を求める。

2. 解き方の手順

(i) 熱貫流率 $\lambda$ は、熱伝導率 $k$ と厚さ $L$ を用いて $\lambda = \frac{k}{L}$ で表される。

この場合、ガラスの熱伝導率 $k = 0.55 \text{ W/(m K)}$、厚さ $L = 12 \text{ mm} = 0.012 \text{ m}$ であるから、熱貫流率は

$\lambda = \frac{0.55 \text{ W/(m K)}}{0.012 \text{ m}} = 45.83 \text{ W/(m}^2 \text{ K)}$

熱流 $H$ は、熱貫流率 $\lambda$、面積 $A$、温度差 $\Delta T$ を用いて $H = \lambda A \Delta T$ で表される。

この場合、$A = 1.0 \text{ m}^2$、$\Delta T = 10 \text{ K}$ であるから、

$H = 45.83 \text{ W/(m}^2 \text{ K)} \times 1.0 \text{ m}^2 \times 10 \text{ K} = 458.3 \text{ W}$

(ii) 板1の熱貫流率を$\lambda_1$, 板2の熱貫流率を$\lambda_2$とする。

板1の外面の温度を$T_1$, 板2の外面の温度を$T_2$, 接合面の温度を$T'$とする。

板1を通過する熱流$H$は、$H = \lambda_1 A (T_1 - T')$

板2を通過する熱流$H$は、$H = \lambda_2 A (T' - T_2)$

よって、$\lambda_1 A (T_1 - T') = \lambda_2 A (T' - T_2)$

$A$は共通なので、$\lambda_1 (T_1 - T') = \lambda_2 (T' - T_2)$

$\lambda_1 T_1 - \lambda_1 T' = \lambda_2 T' - \lambda_2 T_2$

$\lambda_1 T_1 + \lambda_2 T_2 = (\lambda_1 + \lambda_2) T'$

$T' = \frac{\lambda_1 T_1 + \lambda_2 T_2}{\lambda_1 + \lambda_2}$

全体の熱流$H$は、$H = \lambda A (T_1 - T_2)$。ここで$\lambda$は合板全体の熱貫流率。

板1を通過する熱流$H$は、$H = \lambda_1 A (T_1 - T')$なので、

$\lambda A (T_1 - T_2) = \lambda_1 A (T_1 - \frac{\lambda_1 T_1 + \lambda_2 T_2}{\lambda_1 + \lambda_2})$

$\lambda (T_1 - T_2) = \lambda_1 (T_1 - \frac{\lambda_1 T_1 + \lambda_2 T_2}{\lambda_1 + \lambda_2})$

$\lambda (T_1 - T_2) = \lambda_1 \frac{(\lambda_1 + \lambda_2) T_1 - \lambda_1 T_1 - \lambda_2 T_2}{\lambda_1 + \lambda_2}$

$\lambda (T_1 - T_2) = \lambda_1 \frac{\lambda_2 T_1 - \lambda_2 T_2}{\lambda_1 + \lambda_2}$

$\lambda (T_1 - T_2) = \frac{\lambda_1 \lambda_2}{\lambda_1 + \lambda_2} (T_1 - T_2)$

$\lambda = \frac{\lambda_1 \lambda_2}{\lambda_1 + \lambda_2}$

$\frac{1}{\lambda} = \frac{\lambda_1 + \lambda_2}{\lambda_1 \lambda_2} = \frac{1}{\lambda_2} + \frac{1}{\lambda_1}$

(iii) アルミニウムの熱伝導率: $k_{Al} = 237 \text{ W/(m K)}$

銅の熱伝導率: $k_{Cu} = 401 \text{ W/(m K)}$

アルミニウムの熱貫流率: $\lambda_{Al} = \frac{237 \text{ W/(m K)}}{0.01 \text{ m}} = 23700 \text{ W/(m}^2 \text{ K)}$

銅の熱貫流率: $\lambda_{Cu} = \frac{401 \text{ W/(m K)}}{0.02 \text{ m}} = 20050 \text{ W/(m}^2 \text{ K)}$

$\frac{1}{\lambda} = \frac{1}{23700} + \frac{1}{20050} = \frac{20050+23700}{23700 \times 20050}$

$\lambda = \frac{23700 \times 20050}{20050+23700} = \frac{475185000}{43750} = 10861.36 \text{ W/(m}^2 \text{ K)}$

3. 最終的な答え

(i) 熱流Hは 458.3 W

(ii) $\frac{1}{\lambda} = \frac{1}{\lambda_1} + \frac{1}{\lambda_2}$

(iii) 10861.36 W/(m^2 K)