(i) 厚さ12mmのガラス板の熱貫流率から、面積1.0 $m^2$、温度差10℃のときの熱流H [W]を求める。ガラスの熱伝導率は0.55 W/(m・K)。 (ii) 熱貫流率$\lambda_1$, $\lambda_2$の2枚の板を張り合わせた合板の熱貫流率$\lambda$を求める。 (iii) 厚さ10mmのアルミ板と20mmの銅板を張り合わせた板の熱貫流率を求める。

1. 問題の内容

(i) 厚さ12mmのガラス板の熱貫流率から、面積1.0 $m^2$、温度差10℃のときの熱流H [W]を求める。ガラスの熱伝導率は0.55 W/(m・K)。

(ii) 熱貫流率$\lambda_1$, $\lambda_2$の2枚の板を張り合わせた合板の熱貫流率$\lambda$を求める。

(iii) 厚さ10mmのアルミ板と20mmの銅板を張り合わせた板の熱貫流率を求める。

2. 解き方の手順

(i)

熱貫流率$\lambda$は$\lambda = \frac{k}{L}$で与えられる。ここで、$k$は熱伝導率、$L$は厚さである。

この問題では、ガラスの熱伝導率 $k = 0.55$ W/(m・K)、厚さ $L = 12$ mm = 0.012 mである。

よって、ガラス板の熱貫流率は、

$\lambda = \frac{0.55}{0.012} \approx 45.83$ W/(m$^2$・K)

熱流Hは$H = \lambda A \Delta T$で与えられる。ここで、Aは面積、$\Delta T$は温度差である。

この問題では、$A = 1.0$ m$^2$、$\Delta T = 10$℃である。

よって、$H = 45.83 \times 1.0 \times 10 = 458.3$ W

(ii)

(a)

板1の外面の温度を$T_1$、板2の外面の温度を$T_2$、板の接合面の温度を$T'$とする。

板1を通過する熱流 $H_1 = \lambda_1 A \frac{T_1 - T'}{L_1}$

板2を通過する熱流 $H_2 = \lambda_2 A \frac{T' - T_2}{L_2}$

合板を通り抜ける熱量はどちらの板を通り抜けるときも同じ値であるので、$H_1 = H_2 = H$

したがって、$\lambda_1 \frac{T_1 - T'}{L_1} = \lambda_2 \frac{T' - T_2}{L_2}$

(b)

$T'$を消去する。

$T_1 - T' = \frac{H L_1}{\lambda_1 A}$

$T' - T_2 = \frac{H L_2}{\lambda_2 A}$

上記二式を足し合わせると、

$T_1 - T_2 = \frac{H L_1}{\lambda_1 A} + \frac{H L_2}{\lambda_2 A}$

$T_1 - T_2 = H(\frac{L_1}{\lambda_1 A} + \frac{L_2}{\lambda_2 A}) = \frac{H}{A}(\frac{L_1}{\lambda_1} + \frac{L_2}{\lambda_2})$

よって、合板の熱貫流率$\lambda$は$\lambda = \frac{H}{A(T_1 - T_2)} = \frac{1}{\frac{L_1}{\lambda_1} + \frac{L_2}{\lambda_2}}$

一方、熱貫流率$\lambda$の定義$\lambda = k/L$から、$L/\lambda = L^2 /k$.

したがって、$\frac{1}{\lambda} = \frac{1}{\frac{k}{L}} = \frac{L}{k}$.

上記の式$\lambda = \frac{H}{A(T_1 - T_2)} = \frac{1}{\frac{L_1}{\lambda_1} + \frac{L_2}{\lambda_2}}$は、$\frac{1}{\lambda} = \frac{L_1}{k_1} + \frac{L_2}{k_2}$.

もし、$L_1 = L_2 = L$, $k_1 = \lambda_1 L, k_2 = \lambda_2 L$であれば、

$\frac{1}{\lambda} = \frac{1}{\lambda_1} + \frac{1}{\lambda_2}$を満たさない。

$\frac{1}{\lambda} = \frac{L_1}{\lambda_1} + \frac{L_2}{\lambda_2}$

(iii)

アルミニウムの熱伝導率 $k_{Al} = 237$ W/(m・K) (参考値)

銅の熱伝導率 $k_{Cu} = 401$ W/(m・K) (参考値)

アルミニウム板の厚さ $L_{Al} = 10$ mm = 0.01 m

銅板の厚さ $L_{Cu} = 20$ mm = 0.02 m

$\lambda_{Al} = \frac{k_{Al}}{L_{Al}} = \frac{237}{0.01} = 23700$ W/(m$^2$・K)

$\lambda_{Cu} = \frac{k_{Cu}}{L_{Cu}} = \frac{401}{0.02} = 20050$ W/(m$^2$・K)

$\frac{1}{\lambda} = \frac{L_{Al}}{k_{Al}} + \frac{L_{Cu}}{k_{Cu}} = \frac{0.01}{237} + \frac{0.02}{401} \approx 0.00004219 + 0.00004988 = 0.00009207$

$\lambda = \frac{1}{0.00009207} \approx 10861.5$ W/(m$^2$・K)

3. 最終的な答え

(i) $H = 458.3$ W

(ii) $\frac{1}{\lambda} = \frac{L_1}{\lambda_1} + \frac{L_2}{\lambda_2}$

(iii) $\lambda \approx 10861.5$ W/(m$^2$・K)