関数 $f(x, y) = \frac{xy}{2}$ の条件 $g(x, y) = (\frac{x}{2})^2 + y^2 - 1 = 0$ の下での最大値と最小値を、Lagrangeの未定乗数法を用いて求める。

1. 問題の内容

関数 $f(x, y) = \frac{xy}{2}$ の条件 $g(x, y) = (\frac{x}{2})^2 + y^2 - 1 = 0$ の下での最大値と最小値を、Lagrangeの未定乗数法を用いて求める。

2. 解き方の手順

Lagrange関数 $L(x, y, \lambda)$ を次のように定義する。

$L(x, y, \lambda) = f(x, y) - \lambda g(x, y) = \frac{xy}{2} - \lambda ((\frac{x}{2})^2 + y^2 - 1)$

偏微分を計算する。

$\frac{\partial L}{\partial x} = \frac{y}{2} - \lambda \frac{x}{2} = 0$

$\frac{\partial L}{\partial y} = \frac{x}{2} - 2\lambda y = 0$

$\frac{\partial L}{\partial \lambda} = - ((\frac{x}{2})^2 + y^2 - 1) = 0$

上記より、以下の方程式を得る。

1. $y = \lambda x$

2. $x = 4\lambda y$

3. $(\frac{x}{2})^2 + y^2 = 1$

式1を式2に代入すると、$x = 4\lambda (\lambda x)$。

$x(1-4\lambda^2) = 0$。

$x = 0$ または $\lambda = \pm \frac{1}{2}$.

* $x = 0$の場合、式3より、$y^2 = 1$なので、$y = \pm 1$。このとき、$f(0, \pm 1) = 0$.

* $\lambda = \frac{1}{2}$の場合、式1より、$y = \frac{1}{2} x$。式3に代入すると、$\frac{x^2}{4} + \frac{x^2}{4} = 1$。$\frac{x^2}{2} = 1$なので、$x = \pm \sqrt{2}$.

このとき、$y = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$. よって、$f(\sqrt{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{2} = \frac{1}{2}$。同様に、$f(-\sqrt{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{1}{2}$.

* $\lambda = -\frac{1}{2}$の場合、式1より、$y = -\frac{1}{2} x$。式3に代入すると、$\frac{x^2}{4} + \frac{x^2}{4} = 1$。$\frac{x^2}{2} = 1$なので、$x = \pm \sqrt{2}$.

このとき、$y = \mp \frac{\sqrt{2}}{2}$. よって、$f(\sqrt{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\sqrt{2} \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2})}{2} = -\frac{1}{2}$。同様に、$f(-\sqrt{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}) = -\frac{1}{2}$.

3. 最終的な答え

最大値：$\frac{1}{2}$

最小値：$-\frac{1}{2}$