質量 $m$ の質点が、初期速度 $0$ で静かに落下する。質点には重力と、速度の2乗に比例する慣性抵抗 $F_I = \beta v^2$ が働く。鉛直下向きを正として、質点の位置を $y(t)$、速度を $v(t)$、重力加速度を $g$ とする。 (a) 質点の運動方程式を求める。 (b) $v(t)$ を求める。 (c) $t \gg \sqrt{\frac{m}{\beta g}}$ の状況で、終端速度 $v_\infty$ を求める。 (d) $y(t)$ を求める。 (e) $t \gg \sqrt{\frac{m}{\beta g}}$ の状況で、$y(t) \approx v_\infty t - \frac{m}{\beta} \log 2$ となることを示す。 (f) 初期条件として、質点を鉛直上方に投げ上げた場合 $(t=0$ で $v(0) = -v_0, v_0 > 0)$ の運動方程式を求める。

1. 問題の内容

質量 $m$ の質点が、初期速度 $0$ で静かに落下する。質点には重力と、速度の2乗に比例する慣性抵抗 $F_I = \beta v^2$ が働く。鉛直下向きを正として、質点の位置を $y(t)$、速度を $v(t)$、重力加速度を $g$ とする。

(a) 質点の運動方程式を求める。

(b) $v(t)$ を求める。

(c) $t \gg \sqrt{\frac{m}{\beta g}}$ の状況で、終端速度 $v_\infty$ を求める。

(d) $y(t)$ を求める。

(e) $t \gg \sqrt{\frac{m}{\beta g}}$ の状況で、$y(t) \approx v_\infty t - \frac{m}{\beta} \log 2$ となることを示す。

(f) 初期条件として、質点を鉛直上方に投げ上げた場合 $(t=0$ で $v(0) = -v_0, v_0 > 0)$ の運動方程式を求める。

2. 解き方の手順

(a) 運動方程式:

質点に働く力は、重力 $mg$ と慣性抵抗 $-\beta v^2$ である。したがって、運動方程式は、

$$m \frac{dv}{dt} = mg - \beta v^2$$

(b) 速度 $v(t)$:

運動方程式を解く。変数分離を行うと、

$$\frac{dv}{g - \frac{\beta}{m} v^2} = dt$$

両辺を積分する。

$$\int \frac{dv}{g - \frac{\beta}{m} v^2} = \int dt$$

左辺の積分は、部分分数分解を用いて行う。

$$\frac{1}{g - \frac{\beta}{m} v^2} = \frac{1}{g (1 - \frac{\beta}{mg} v^2)} = \frac{1}{g (1 - (\sqrt{\frac{\beta}{mg}} v)^2)}$$

積分結果は、

$$\int \frac{dv}{g - \frac{\beta}{m} v^2} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{m}{\beta g^3}} \log \left| \frac{\sqrt{\frac{mg}{\beta}} + v}{\sqrt{\frac{mg}{\beta}} - v} \right|$$

したがって、

$$\frac{1}{2} \sqrt{\frac{m}{\beta g^3}} \log \left| \frac{\sqrt{\frac{mg}{\beta}} + v}{\sqrt{\frac{mg}{\beta}} - v} = t + C \right|$$

初期条件 $v(0) = 0$ より、$C = 0$。

$$\frac{1}{2} \sqrt{\frac{m}{\beta g^3}} \log \left| \frac{\sqrt{\frac{mg}{\beta}} + v}{\sqrt{\frac{mg}{\beta}} - v} = t \right|$$

整理して、$v(t)$ を求める。

$$\frac{\sqrt{\frac{mg}{\beta}} + v}{\sqrt{\frac{mg}{\beta}} - v} = e^{2t \sqrt{\frac{\beta g^3}{m}}}$$

$$v(t) = \sqrt{\frac{mg}{\beta}} \frac{e^{t \sqrt{\frac{\beta g}{m}}} - e^{-t \sqrt{\frac{\beta g}{m}}}}{e^{t \sqrt{\frac{\beta g}{m}}} + e^{-t \sqrt{\frac{\beta g}{m}}}} = \sqrt{\frac{mg}{\beta}} \tanh \left(t \sqrt{\frac{\beta g}{m}} \right)$$

(c) 終端速度 $v_\infty$:

$t \gg \sqrt{\frac{m}{\beta g}}$ のとき、$\tanh \left(t \sqrt{\frac{\beta g}{m}} \right) \to 1$ なので、

$$v_\infty = \lim_{t \to \infty} v(t) = \sqrt{\frac{mg}{\beta}}$$

(d) 位置 $y(t)$:

$$y(t) = \int v(t) dt = \int \sqrt{\frac{mg}{\beta}} \tanh \left(t \sqrt{\frac{\beta g}{m}} \right) dt$$

$$y(t) = \sqrt{\frac{mg}{\beta}} \frac{\sqrt{m}}{\sqrt{\beta g}} \log \left( \cosh \left(t \sqrt{\frac{\beta g}{m}} \right) \right) + C' = \frac{m}{\beta} \log \left( \cosh \left(t \sqrt{\frac{\beta g}{m}} \right) \right) + C'$$

初期条件 $y(0) = 0$ より、$C' = 0$。

$$y(t) = \frac{m}{\beta} \log \left( \cosh \left(t \sqrt{\frac{\beta g}{m}} \right) \right)$$

(e) $t \gg \sqrt{\frac{m}{\beta g}}$ の状況:

$$\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$$

$t \gg \sqrt{\frac{m}{\beta g}}$ のとき、$e^{t \sqrt{\frac{\beta g}{m}}} \gg e^{-t \sqrt{\frac{\beta g}{m}}}$ なので、

$$\cosh \left(t \sqrt{\frac{\beta g}{m}} \right) \approx \frac{1}{2} e^{t \sqrt{\frac{\beta g}{m}}}$$

$$y(t) \approx \frac{m}{\beta} \log \left( \frac{1}{2} e^{t \sqrt{\frac{\beta g}{m}}} \right) = \frac{m}{\beta} \left( t \sqrt{\frac{\beta g}{m}} - \log 2 \right) = \sqrt{\frac{mg}{\beta}} t - \frac{m}{\beta} \log 2 = v_\infty t - \frac{m}{\beta} \log 2$$

(f) 質点を鉛直上方に投げ上げた場合:

運動方程式は、

$$m \frac{dv}{dt} = -mg - \beta v^2$$

（重力と慣性抵抗はどちらも下向きなので、負になる。）

3. 最終的な答え

(a) $m \frac{dv}{dt} = mg - \beta v^2$

(b) $v(t) = \sqrt{\frac{mg}{\beta}} \tanh \left(t \sqrt{\frac{\beta g}{m}} \right)$

(c) $v_\infty = \sqrt{\frac{mg}{\beta}}$

(d) $y(t) = \frac{m}{\beta} \log \left( \cosh \left(t \sqrt{\frac{\beta g}{m}} \right) \right)$

(e) $y(t) \approx v_\infty t - \frac{m}{\beta} \log 2$

(f) $m \frac{dv}{dt} = -mg - \beta v^2$