与えられたベクトル場 $\vec{A}$ とスカラー場 $\phi$ に対して、以下の計算を行う。 (1) $\nabla \cdot \vec{A}$ (2) $\vec{A} \cdot (\nabla \phi)$ ここで、 $\vec{A} = \frac{y^2 z}{x} \vec{i} + \sin(xy^2) \vec{j} - 2yz^2 \vec{k}$ $\phi = 2x^3 + yz^2$

1. 問題の内容

与えられたベクトル場 $\vec{A}$ とスカラー場 $\phi$ に対して、以下の計算を行う。

(1) $\nabla \cdot \vec{A}$

(2) $\vec{A} \cdot (\nabla \phi)$

ここで、

$\vec{A} = \frac{y^2 z}{x} \vec{i} + \sin(xy^2) \vec{j} - 2yz^2 \vec{k}$

$\phi = 2x^3 + yz^2$

2. 解き方の手順

(1) $\nabla \cdot \vec{A}$ の計算

$\nabla \cdot \vec{A} = \frac{\partial}{\partial x} (\frac{y^2 z}{x}) + \frac{\partial}{\partial y} (\sin(xy^2)) + \frac{\partial}{\partial z} (-2yz^2)$

それぞれの偏微分を計算する。

$\frac{\partial}{\partial x} (\frac{y^2 z}{x}) = -\frac{y^2 z}{x^2}$

$\frac{\partial}{\partial y} (\sin(xy^2)) = \cos(xy^2) \cdot 2xy = 2xy\cos(xy^2)$

$\frac{\partial}{\partial z} (-2yz^2) = -4yz$

したがって、

$\nabla \cdot \vec{A} = -\frac{y^2 z}{x^2} + 2xy\cos(xy^2) - 4yz$

(2) $\vec{A} \cdot (\nabla \phi)$ の計算

まず、$\nabla \phi$ を計算する。

$\nabla \phi = \frac{\partial \phi}{\partial x} \vec{i} + \frac{\partial \phi}{\partial y} \vec{j} + \frac{\partial \phi}{\partial z} \vec{k}$

それぞれの偏微分を計算する。

$\frac{\partial \phi}{\partial x} = 6x^2$

$\frac{\partial \phi}{\partial y} = z^2$

$\frac{\partial \phi}{\partial z} = 2yz$

したがって、

$\nabla \phi = 6x^2 \vec{i} + z^2 \vec{j} + 2yz \vec{k}$

次に、$\vec{A} \cdot (\nabla \phi)$ を計算する。

$\vec{A} \cdot (\nabla \phi) = (\frac{y^2 z}{x})(6x^2) + (\sin(xy^2))(z^2) + (-2yz^2)(2yz)$

$= 6xy^2z + z^2 \sin(xy^2) - 4y^2z^3$

3. 最終的な答え

(1) $\nabla \cdot \vec{A} = -\frac{y^2 z}{x^2} + 2xy\cos(xy^2) - 4yz$

(2) $\vec{A} \cdot (\nabla \phi) = 6xy^2z + z^2 \sin(xy^2) - 4y^2z^3$