問題2: ベクトル場 $\mathbf{A}(x, y, z) = (2x^2y^3, \sin(y^2z), \log(y+2z^3))$ の発散 $\mathrm{div} \mathbf{A}$ を計算する。 問題3(1): ベクトル場 $\mathbf{A} = xy^2 \mathbf{i} - e^{yz} \mathbf{j} + \log(y-3z) \mathbf{k}$ の回転 $\mathrm{rot} \mathbf{A}$ を計算する。

はい、承知いたしました。画像にある数学の問題を解いていきます。まずは問題2と問題3の(1)について解答します。

1. 問題の内容

問題2: ベクトル場 $\mathbf{A}(x, y, z) = (2x^2y^3, \sin(y^2z), \log(y+2z^3))$ の発散 $\mathrm{div} \mathbf{A}$ を計算する。

問題3(1): ベクトル場 $\mathbf{A} = xy^2 \mathbf{i} - e^{yz} \mathbf{j} + \log(y-3z) \mathbf{k}$ の回転 $\mathrm{rot} \mathbf{A}$ を計算する。

2. 解き方の手順

問題2: 発散の計算

ベクトル場 $\mathbf{A} = (P, Q, R)$ の発散は、

$\mathrm{div} \mathbf{A} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}$

で与えられます。

$\mathbf{A}(x, y, z) = (2x^2y^3, \sin(y^2z), \log(y+2z^3))$ に対して、各偏微分を計算します。

$\frac{\partial P}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(2x^2y^3) = 4xy^3$

$\frac{\partial Q}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(\sin(y^2z)) = \cos(y^2z) \cdot 2yz = 2yz \cos(y^2z)$

$\frac{\partial R}{\partial z} = \frac{\partial}{\partial z}(\log(y+2z^3)) = \frac{1}{y+2z^3} \cdot 6z^2 = \frac{6z^2}{y+2z^3}$

したがって、

$\mathrm{div} \mathbf{A} = 4xy^3 + 2yz \cos(y^2z) + \frac{6z^2}{y+2z^3}$

問題3(1): 回転の計算

ベクトル場 $\mathbf{A} = (P, Q, R)$ の回転は、

$\mathrm{rot} \mathbf{A} = \left( \frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z}, \frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x}, \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right)$

で与えられます。

$\mathbf{A} = (xy^2, -e^{yz}, \log(y-3z))$ に対して、各偏微分を計算します。

$\frac{\partial R}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(\log(y-3z)) = \frac{1}{y-3z}$

$\frac{\partial Q}{\partial z} = \frac{\partial}{\partial z}(-e^{yz}) = -ye^{yz}$

$\frac{\partial P}{\partial z} = \frac{\partial}{\partial z}(xy^2) = 0$

$\frac{\partial R}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(\log(y-3z)) = 0$

$\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(-e^{yz}) = 0$

$\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(xy^2) = 2xy$

したがって、

$\mathrm{rot} \mathbf{A} = \left( \frac{1}{y-3z} + ye^{yz}, 0 - 0, 0 - 2xy \right) = \left( \frac{1}{y-3z} + ye^{yz}, 0, -2xy \right)$

3. 最終的な答え

問題2: $\mathrm{div} \mathbf{A} = 4xy^3 + 2yz \cos(y^2z) + \frac{6z^2}{y+2z^3}$

問題3(1): $\mathrm{rot} \mathbf{A} = \left( \frac{1}{y-3z} + ye^{yz}, 0, -2xy \right)$