ベクトル $\vec{A}=2\vec{i}+\vec{j}+2\vec{k}$、$\vec{B}=2\vec{i}+2\vec{j}+2\vec{k}$、$\vec{C}=\vec{i}+\vec{j}+3\vec{k}$ が与えられているとき、以下の量を計算する。 a) $\vec{A} \cdot (\vec{B} - \vec{C})$ b) $|(\vec{C} - 2\vec{B}) \times \vec{A}|$ c) $\phi = 4xy - y^2 z^3$ の時の $\Delta \phi$ (ラプラシアン) d) ベクトル $\vec{A}$、$\vec{B}$、$\vec{C}$ で作られる平行六面体の体積

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{A}=2\vec{i}+\vec{j}+2\vec{k}$、$\vec{B}=2\vec{i}+2\vec{j}+2\vec{k}$、$\vec{C}=\vec{i}+\vec{j}+3\vec{k}$ が与えられているとき、以下の量を計算する。

a) $\vec{A} \cdot (\vec{B} - \vec{C})$

b) $|(\vec{C} - 2\vec{B}) \times \vec{A}|$

c) $\phi = 4xy - y^2 z^3$ の時の $\Delta \phi$ (ラプラシアン)

d) ベクトル $\vec{A}$、$\vec{B}$、$\vec{C}$ で作られる平行六面体の体積

2. 解き方の手順

a) $\vec{B} - \vec{C} = (2-1)\vec{i} + (2-1)\vec{j} + (2-3)\vec{k} = \vec{i} + \vec{j} - \vec{k}$

$\vec{A} \cdot (\vec{B} - \vec{C}) = (2\vec{i}+\vec{j}+2\vec{k}) \cdot (\vec{i}+\vec{j}-\vec{k}) = 2(1) + 1(1) + 2(-1) = 2 + 1 - 2 = 1$

b) $2\vec{B} = 4\vec{i} + 4\vec{j} + 4\vec{k}$

$\vec{C} - 2\vec{B} = (1-4)\vec{i} + (1-4)\vec{j} + (3-4)\vec{k} = -3\vec{i} - 3\vec{j} - \vec{k}$

$(\vec{C} - 2\vec{B}) \times \vec{A} = (-3\vec{i} - 3\vec{j} - \vec{k}) \times (2\vec{i} + \vec{j} + 2\vec{k}) = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -3 & -3 & -1 \\ 2 & 1 & 2 \end{vmatrix} = (-6+1)\vec{i} - (-6+2)\vec{j} + (-3+6)\vec{k} = -5\vec{i} + 4\vec{j} + 3\vec{k}$

$|(\vec{C} - 2\vec{B}) \times \vec{A}| = \sqrt{(-5)^2 + 4^2 + 3^2} = \sqrt{25 + 16 + 9} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$

c) $\frac{\partial \phi}{\partial x} = 4y$、$\frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2} = 0$

$\frac{\partial \phi}{\partial y} = 4x - 2yz^3$、$\frac{\partial^2 \phi}{\partial y^2} = -2z^3$

$\frac{\partial \phi}{\partial z} = -3y^2z^2$、$\frac{\partial^2 \phi}{\partial z^2} = -6y^2z$

$\Delta \phi = \frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \phi}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 \phi}{\partial z^2} = 0 - 2z^3 - 6y^2z = -2z^3 - 6y^2z$

d) 平行六面体の体積は $|\vec{A} \cdot (\vec{B} \times \vec{C})|$ で与えられる。

$\vec{B} \times \vec{C} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & 2 & 2 \\ 1 & 1 & 3 \end{vmatrix} = (6-2)\vec{i} - (6-2)\vec{j} + (2-2)\vec{k} = 4\vec{i} - 4\vec{j} + 0\vec{k}$

$\vec{A} \cdot (\vec{B} \times \vec{C}) = (2\vec{i}+\vec{j}+2\vec{k}) \cdot (4\vec{i}-4\vec{j}+0\vec{k}) = 2(4) + 1(-4) + 2(0) = 8 - 4 + 0 = 4$

体積は $|\vec{A} \cdot (\vec{B} \times \vec{C})| = |4| = 4$

3. 最終的な答え

a) 1

b) $5\sqrt{2}$

c) $-2z^3 - 6y^2z$

d) 4