ベクトル場Aが与えられたとき、その回転rotAを計算する問題です。3つのベクトル場Aが与えられており、それぞれに対してrotAを計算する必要があります。 (1) $A = xy^2 i - e^x j + log(y-3z) k$ (2) $A(x,y,z) = (xyz, -y^2z^3, 2x^2y)$ (3) $A(x,y,z) = (\frac{-x}{x^2 + y^2}, \frac{x}{x^2 + y^2}, 0)$

1. 問題の内容

ベクトル場Aが与えられたとき、その回転rotAを計算する問題です。3つのベクトル場Aが与えられており、それぞれに対してrotAを計算する必要があります。

(1) $A = xy^2 i - e^x j + log(y-3z) k$

(2) $A(x,y,z) = (xyz, -y^2z^3, 2x^2y)$

(3) $A(x,y,z) = (\frac{-x}{x^2 + y^2}, \frac{x}{x^2 + y^2}, 0)$

2. 解き方の手順

回転（rot）は、ベクトル場の各成分の偏微分を使って計算します。ベクトル場 $A = (P, Q, R)$ の回転は次のように計算できます。

$rotA = (\frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z}, \frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x}, \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y})$

各ベクトル場に対して回転を計算します。

(1) $A = (xy^2, -e^x, log(y-3z))$

$rotA = (\frac{\partial}{\partial y}log(y-3z) - \frac{\partial}{\partial z}(-e^x), \frac{\partial}{\partial z}(xy^2) - \frac{\partial}{\partial x}log(y-3z), \frac{\partial}{\partial x}(-e^x) - \frac{\partial}{\partial y}(xy^2))$

$rotA = (\frac{1}{y-3z} - 0, 0 - 0, -e^x - 2xy)$

$rotA = (\frac{1}{y-3z}, 0, -e^x - 2xy)$

(2) $A(x,y,z) = (xyz, -y^2z^3, 2x^2y)$

$rotA = (\frac{\partial}{\partial y}(2x^2y) - \frac{\partial}{\partial z}(-y^2z^3), \frac{\partial}{\partial z}(xyz) - \frac{\partial}{\partial x}(2x^2y), \frac{\partial}{\partial x}(-y^2z^3) - \frac{\partial}{\partial y}(xyz))$

$rotA = (2x^2 + 3y^2z^2, xy - 4xy, 0 - xz)$

$rotA = (2x^2 + 3y^2z^2, -3xy, -xz)$

(3) $A(x,y,z) = (\frac{-y}{x^2+y^2}, \frac{x}{x^2+y^2}, 0)$

$rotA = (\frac{\partial}{\partial y}(0) - \frac{\partial}{\partial z}(\frac{x}{x^2+y^2}), \frac{\partial}{\partial z}(\frac{-y}{x^2+y^2}) - \frac{\partial}{\partial x}(0), \frac{\partial}{\partial x}(\frac{x}{x^2+y^2}) - \frac{\partial}{\partial y}(\frac{-y}{x^2+y^2}))$

$rotA = (0 - 0, 0 - 0, \frac{(x^2+y^2)(1) - x(2x)}{(x^2+y^2)^2} - \frac{(x^2+y^2)(-1) - (-y)(2y)}{(x^2+y^2)^2})$

$rotA = (0, 0, \frac{x^2+y^2-2x^2}{(x^2+y^2)^2} - \frac{-x^2-y^2+2y^2}{(x^2+y^2)^2})$

$rotA = (0, 0, \frac{-x^2+y^2}{(x^2+y^2)^2} - \frac{-x^2+y^2}{(x^2+y^2)^2})$

$rotA = (0, 0, 0)$

3. 最終的な答え

(1) $rotA = (\frac{1}{y-3z}, 0, -e^x - 2xy)$

(2) $rotA = (2x^2 + 3y^2z^2, -3xy, -xz)$

(3) $rotA = (0, 0, 0)$