ボールが速度に比例する空気抵抗を受ける場合を考える。ボールを投げ上げたときの時刻を $t=0$、速度の鉛直上方成分の大きさを $V_0$ とする。ボールが最高到達点に達する時刻を $T_m$ とし、ボールの質量 $m$ と $\lambda$、$V_0$、$g$ を用いて表す。 $T_m = m^A \lambda^B \log(C + m^D \lambda^E V_0^F g^G)$ 整数値Aを求めよ。

1. 問題の内容

ボールが速度に比例する空気抵抗を受ける場合を考える。ボールを投げ上げたときの時刻を $t=0$、速度の鉛直上方成分の大きさを $V_0$ とする。ボールが最高到達点に達する時刻を $T_m$ とし、ボールの質量 $m$ と $\lambda$、$V_0$、$g$ を用いて表す。

$T_m = m^A \lambda^B \log(C + m^D \lambda^E V_0^F g^G)$

整数値Aを求めよ。

2. 解き方の手順

ボールに働く力は重力 $mg$ と空気抵抗 $\lambda v$ である。

ボールが最高点に達するまでの時間を求めるには、運動方程式を解く必要がある。鉛直上向きを正の方向とすると、運動方程式は、

$m \frac{dv}{dt} = -mg - \lambda v$

これを変形すると、

$\frac{dv}{dt} = -g - \frac{\lambda}{m} v$

$\frac{dv}{g + \frac{\lambda}{m} v} = -dt$

両辺を積分する。

$\int_{V_0}^{0} \frac{dv}{g + \frac{\lambda}{m} v} = \int_{0}^{T_m} -dt$

$\frac{m}{\lambda} [\log (g + \frac{\lambda}{m} v)]_{V_0}^{0} = -[t]_{0}^{T_m}$

$\frac{m}{\lambda} (\log g - \log(g + \frac{\lambda}{m} V_0)) = -T_m$

$T_m = \frac{m}{\lambda} \log(\frac{g + \frac{\lambda}{m} V_0}{g})$

$T_m = \frac{m}{\lambda} \log(1 + \frac{\lambda V_0}{mg})$

$T_m = \frac{m}{\lambda} \log(\frac{mg + \lambda V_0}{mg})$

与えられた式

$T_m = m^A \lambda^B \log(C + m^D \lambda^E V_0^F g^G)$

$T_m = \frac{m}{\lambda} \log(1 + \frac{\lambda V_0}{mg}) = m^1 \lambda^{-1} \log(1 + \frac{\lambda V_0}{mg})$

$T_m = m^1 \lambda^{-1} \log(\frac{mg + \lambda V_0}{mg}) = m^1 \lambda^{-1} \log(\frac{m^1 g^1 + \lambda^1 V_0^1}{m^1 g^1}) = m^1 \lambda^{-1} \log(\frac{m^1 \lambda^0 V_0^0 g^1 + m^0 \lambda^1 V_0^1 g^0}{m^1 g^1})$

$C=1$, $D=0, E=1, F=1, G=0$

$T_m = m^A \lambda^B \log(C + m^D \lambda^E V_0^F g^G)$

$A=1, B=-1$

よって、$A=1$

3. 最終的な答え

1