慣性抵抗が働く場合における、物体の任意の時刻におけるx、y方向の速度を求める問題です。慣性抵抗の比例係数は$\gamma_2$とします。

1. 問題の内容

慣性抵抗が働く場合における、物体の任意の時刻におけるx、y方向の速度を求める問題です。慣性抵抗の比例係数は$\gamma_2$とします。

2. 解き方の手順

与えられた情報から運動方程式を立て、それを解くことによって速度を求めます。

運動方程式は、慣性抵抗が働く場合に以下のようになります。

$m\frac{dv}{dt} = -\gamma_2 v$

ここで、$m$は物体の質量、$v$は速度、$t$は時間、$\gamma_2$は慣性抵抗の比例係数です。

この微分方程式を解きます。まず、変数を分離します。

$\frac{dv}{v} = -\frac{\gamma_2}{m} dt$

次に、両辺を積分します。

$\int \frac{dv}{v} = \int -\frac{\gamma_2}{m} dt$

$\ln |v| = -\frac{\gamma_2}{m}t + C$

ここで、$C$は積分定数です。指数関数を取ります。

$|v| = e^{-\frac{\gamma_2}{m}t + C} = e^C e^{-\frac{\gamma_2}{m}t}$

初期条件を$v(0) = v_0$とすると、$v_0 = e^C$となります。したがって、

$v(t) = v_0 e^{-\frac{\gamma_2}{m}t}$

この解は、$x$方向と$y$方向の速度にそれぞれ適用できます。

$v_x(t) = v_{x0} e^{-\frac{\gamma_2}{m}t}$

$v_y(t) = v_{y0} e^{-\frac{\gamma_2}{m}t}$

ここで、$v_{x0}$と$v_{y0}$はそれぞれ$x$方向と$y$方向の初期速度です。

3. 最終的な答え

物体の任意の時刻におけるx、y方向の速度は以下のようになります。

$v_x(t) = v_{x0} e^{-\frac{\gamma_2}{m}t}$

$v_y(t) = v_{y0} e^{-\frac{\gamma_2}{m}t}$