質量 $m$ の物体を水平位置 $x=0$、高さ $h$ から水平方向に初速度 $v_0$ で発射した場合について、以下の問いに答える。 (1) 抵抗力が働かない場合の、時刻 $t$ における $x, y$ 方向の速度を求める。運動方程式を微分方程式の形で記述し、それを解くこと。 (2) (1) の場合の、時刻 $t$ における位置を求める。 (3) 粘性抵抗（比例係数 $\gamma_1$）が働く場合の、時刻 $t$ における $x, y$ 方向の速度を求める。 (4) (3) の場合の、時刻 $t$ における位置を求める。 (5) 慣性抵抗（比例係数 $\gamma_2$）が働く場合の、時刻 $t$ における $x, y$ 方向の速度を求める。

1. 問題の内容

質量 $m$ の物体を水平位置 $x=0$、高さ $h$ から水平方向に初速度 $v_0$ で発射した場合について、以下の問いに答える。

(1) 抵抗力が働かない場合の、時刻 $t$ における $x, y$ 方向の速度を求める。運動方程式を微分方程式の形で記述し、それを解くこと。

(2) (1) の場合の、時刻 $t$ における位置を求める。

(3) 粘性抵抗（比例係数 $\gamma_1$）が働く場合の、時刻 $t$ における $x, y$ 方向の速度を求める。

(4) (3) の場合の、時刻 $t$ における位置を求める。

(5) 慣性抵抗（比例係数 $\gamma_2$）が働く場合の、時刻 $t$ における $x, y$ 方向の速度を求める。

2. 解き方の手順

(1) 抵抗力が働かない場合：

- $x$ 方向：運動方程式は $m \frac{dv_x}{dt} = 0$。初期条件 $v_x(0) = v_0$。

積分すると $v_x(t) = v_0$。

- $y$ 方向：運動方程式は $m \frac{dv_y}{dt} = -mg$。初期条件 $v_y(0) = 0$。

積分すると $v_y(t) = -gt$。

(2) (1) の場合の位置：

- $x$ 方向：$x(t) = \int v_x(t) dt = \int v_0 dt = v_0 t + C$。初期条件 $x(0) = 0$ より $C = 0$。

よって、$x(t) = v_0 t$。

- $y$ 方向：$y(t) = \int v_y(t) dt = \int -gt dt = -\frac{1}{2} gt^2 + C'$。初期条件 $y(0) = h$ より $C' = h$。

よって、$y(t) = h - \frac{1}{2} gt^2$。

(3) 粘性抵抗が働く場合：

- $x$ 方向：運動方程式は $m \frac{dv_x}{dt} = -\gamma_1 v_x$。初期条件 $v_x(0) = v_0$。

$\frac{dv_x}{v_x} = -\frac{\gamma_1}{m} dt$ より、積分して $\ln v_x = -\frac{\gamma_1}{m} t + C$。

初期条件より $C = \ln v_0$。

したがって、$v_x(t) = v_0 e^{-\frac{\gamma_1}{m} t}$。

- $y$ 方向：運動方程式は $m \frac{dv_y}{dt} = -mg - \gamma_1 v_y$。初期条件 $v_y(0) = 0$。

$\frac{dv_y}{dt} = -g - \frac{\gamma_1}{m} v_y$。

$\int \frac{dv_y}{g + \frac{\gamma_1}{m} v_y} = \int -dt$

$\frac{m}{\gamma_1} \ln(g + \frac{\gamma_1}{m} v_y) = -t + C$

初期条件より $C = \frac{m}{\gamma_1} \ln g$

$\ln (g + \frac{\gamma_1}{m} v_y) - \ln g = -\frac{\gamma_1}{m} t$

$\ln (\frac{g + \frac{\gamma_1}{m} v_y}{g}) = -\frac{\gamma_1}{m} t$

$1 + \frac{\gamma_1}{mg} v_y = e^{-\frac{\gamma_1}{m} t}$

$v_y(t) = \frac{mg}{\gamma_1}(e^{-\frac{\gamma_1}{m} t} - 1)$

(4) (3) の場合の位置：

- $x$ 方向：$x(t) = \int v_x(t) dt = \int v_0 e^{-\frac{\gamma_1}{m} t} dt = -\frac{m v_0}{\gamma_1} e^{-\frac{\gamma_1}{m} t} + C$。初期条件 $x(0) = 0$ より $C = \frac{m v_0}{\gamma_1}$。

よって、$x(t) = \frac{m v_0}{\gamma_1} (1 - e^{-\frac{\gamma_1}{m} t})$。

- $y$ 方向：$y(t) = \int v_y(t) dt = \int \frac{mg}{\gamma_1} (e^{-\frac{\gamma_1}{m} t} - 1) dt = \frac{mg}{\gamma_1} (-\frac{m}{\gamma_1} e^{-\frac{\gamma_1}{m} t} - t) + C'$。初期条件 $y(0) = h$ より $C' = h + \frac{m^2 g}{\gamma_1^2}$。

よって、$y(t) = h - \frac{mg}{\gamma_1} t - \frac{m^2 g}{\gamma_1^2} (e^{-\frac{\gamma_1}{m} t} - 1)$。

(5) 慣性抵抗が働く場合：

$x$方向： 運動方程式は$m\frac{dv_x}{dt} = -\gamma_2\frac{d^2v_x}{dt^2}$。

$\frac{dv_x}{dt} = w_x$ とおくと、

$m w_x = -\gamma_2 \frac{dw_x}{dt}$

$\frac{dw_x}{w_x} = -\frac{m}{\gamma_2}dt$

$lnw_x = -\frac{m}{\gamma_2}t + C_1$

$w_x = e^{-\frac{m}{\gamma_2}t + C_1} = C_2e^{-\frac{m}{\gamma_2}t}$

$\frac{dv_x}{dt} = C_2e^{-\frac{m}{\gamma_2}t}$

$v_x(t) = \int C_2e^{-\frac{m}{\gamma_2}t}dt = -\frac{\gamma_2C_2}{m}e^{-\frac{m}{\gamma_2}t} + C_3$

初期条件$v_x(0) = v_0$より $v_0 = -\frac{\gamma_2C_2}{m} + C_3$。

$\frac{d^2v_x}{dt^2}(0)=0$とすると

$\frac{dv_x}{dt}(0)=0$, 따라서, $\frac{dw_x}{dt}(0) = 0$, 그러면 $w_x(0) = 0$. 따라서、$C_2=0$

$v_x = v_0$

$y$方向： 運動方程式は$m\frac{dv_y}{dt} = -mg-\gamma_2\frac{d^2v_y}{dt^2}$

$\frac{dv_y}{dt} = w_y$ とおくと、

$m w_y = -mg-\gamma_2 \frac{dw_y}{dt}$

$\frac{dw_y}{dt} = -\frac{m}{\gamma_2}w_y - \frac{mg}{\gamma_2}$

$\frac{dw_y}{w_y+\frac{mg}{m}} = -\frac{m}{\gamma_2}dt$

$ln(w_y+\frac{mg}{m}) = -\frac{m}{\gamma_2}t + C_1$

$w_y+\frac{mg}{m} = C_2 e^{-\frac{m}{\gamma_2}t}$

$w_y = C_2 e^{-\frac{m}{\gamma_2}t}-\frac{mg}{m}$

$\frac{dv_y}{dt} = C_2 e^{-\frac{m}{\gamma_2}t}-\frac{mg}{m}$

$v_y = \int (C_2 e^{-\frac{m}{\gamma_2}t}-\frac{mg}{m}) dt = -\frac{\gamma_2}{m}C_2e^{-\frac{m}{\gamma_2}t} - gt + C_3$

초기条件$v_y(0) = 0$より$C_2=\frac{mg}{m}$

$v_y = -\frac{\gamma_2}{m}\frac{mg}{m}e^{-\frac{m}{\gamma_2}t} - gt + \frac{\gamma_2}{m}\frac{mg}{m}$

$v_y = \frac{mg}{m}(1-\frac{\gamma_2}{m}e^{-\frac{m}{\gamma_2}t}) - gt$

$\frac{d^2v_y}{dt^2}(0)=0$とすると

$\frac{dv_y}{dt}(0)=0$, 따라서, $\frac{dw_y}{dt}(0) = 0$, 그러면 $w_y(0) = 0$

$w_y(t)=-\frac{mg}{\gamma_2}$

$\frac{dv_y}{dt} = -\frac{mg}{\gamma_2}$

$v_y(t) = -\frac{mg}{\gamma_2}t$

3. 最終的な答え

(1) $v_x(t) = v_0$, $v_y(t) = -gt$

(2) $x(t) = v_0 t$, $y(t) = h - \frac{1}{2} gt^2$

(3) $v_x(t) = v_0 e^{-\frac{\gamma_1}{m} t}$, $v_y(t) = \frac{mg}{\gamma_1}(e^{-\frac{\gamma_1}{m} t} - 1)$

(4) $x(t) = \frac{m v_0}{\gamma_1} (1 - e^{-\frac{\gamma_1}{m} t})$, $y(t) = h - \frac{mg}{\gamma_1} t - \frac{m^2 g}{\gamma_1^2} (e^{-\frac{\gamma_1}{m} t} - 1)$

(5) $v_x = v_0$, $v_y(t) = -\frac{mg}{\gamma_2}t$