与えられたラスパイレス価格指数 $P_L$、パーシェ価格指数 $P_P$、ウェイト $w_{i0}$、共分散 $s_{PQ}$、標準偏差 $s_P, s_Q$、相関係数 $r$ を用いて、空欄を埋める問題です。特に、$s_{PQ}$ の式と、$P_L$ と $P_P$ の関係式における空欄を埋めます。

1. 問題の内容

与えられたラスパイレス価格指数 $P_L$、パーシェ価格指数 $P_P$、ウェイト $w_{i0}$、共分散 $s_{PQ}$、標準偏差 $s_P, s_Q$、相関係数 $r$ を用いて、空欄を埋める問題です。特に、$s_{PQ}$ の式と、$P_L$ と $P_P$ の関係式における空欄を埋めます。

2. 解き方の手順

まず、$s_{PQ}$ の式を考えます。問題文より、

$s_{PQ} = \sum_{i=1}^n w_{i0} \left(\frac{P_{it}}{P_{i0}} - P_L\right) \left(\frac{Q_{it}}{Q_{i0}} - Q_L\right)$

です。問題文において、$s_{PQ} = \sum_{i=1}^n w_{i0} \left(\frac{P_{it}}{P_{i0}} - P_L\right) \left(\frac{Q_{it}}{Q_{i0}} - Q_L\right) = 2 [3 - P_L]$ となっています。

ここで、問題文には $Q_L = \sum_{i=1}^n w_{i0} \frac{Q_{it}}{Q_{i0}}$ が与えられています。

$P_L$ と $Q_L$ はそれぞれ $w_{i0}$ をウェイトとする $\frac{P_{it}}{P_{i0}}$ と $\frac{Q_{it}}{Q_{i0}}$ の加重平均となっています。

ここで、合計の式を考慮すると、空欄 2 に入るべきものは $Q_L$ です。すると、$Q_L$の式から、

$\sum_{i=1}^n w_{i0} \left( \frac{Q_{it}}{Q_{i0}} - Q_L \right) = 0$ となります。

したがって、

$s_{PQ} = \sum_{i=1}^n w_{i0} \left(\frac{P_{it}}{P_{i0}} - P_L\right) \left(\frac{Q_{it}}{Q_{i0}} - Q_L\right) = 0$

となります。したがって、$2[3 - P_L] = 0$ でなければなりません。つまり、$3 = P_L$となります。

ゆえに空欄 3 は $P_L$ であり、2 には $Q_L$ が入ります。

したがって、$s_{PQ} = \sum_{i=1}^n w_{i0} (\frac{P_{it}}{P_{i0}} - P_L) (\frac{Q_{it}}{Q_{i0}} - Q_L) = 0$となります。

次に、$P_L$ と $P_P$ の関係式を考えます。

$\frac{P_P - 4}{P_L} = r \frac{s_P s_Q}{P_L 5}$

$s_{PQ} = r s_P s_Q = 0$ より、$r s_P s_Q = 0$ です。したがって、

$\frac{P_P - 4}{P_L} = 0$

$P_P - 4 = 0$

$P_P = 4$ となります。

したがって、空欄 4 に入るのは $P_P$ であり、空欄 5 に入るのは $P_L$ です。

すると与えられた式は、

$\frac{P_P - P_P}{P_L} = r \frac{s_P s_Q}{P_L P_L}$ となります。

3. 最終的な答え

空欄 2: $Q_L$

空欄 3: $P_L$

空欄 4: $P_P$

空欄 5: $P_L$