ラスパイレス価格指数 $P_L$ とパーシェ価格指数 $P_P$ の関係に関する穴埋め問題です。 与えられた式を参考に、空欄1から5に当てはまるものを選択します。

1. 問題の内容

ラスパイレス価格指数 $P_L$ とパーシェ価格指数 $P_P$ の関係に関する穴埋め問題です。

与えられた式を参考に、空欄1から5に当てはまるものを選択します。

2. 解き方の手順

まず、パーシェ価格指数の逆数は

$\frac{1}{P_P} = \frac{\sum P_{i0} Q_{it}}{\sum P_{it} Q_{it}} = \sum \frac{P_{i0} Q_{it}}{\sum P_{it} Q_{it}}$

となるので、空欄1は$\frac{P_{it} Q_{i0}}{P_{i0} Q_{i0}}$の形から$\frac{P_{i0} Q_{it}}{\sum_i P_{it}Q_{it}}$だと考えられます。

よって，空欄1は$\sum_{i=1}^n P_{i0}Q_{it}$の逆数なので、$\frac{1}{\sum P_{it} Q_{it}}$となります。

次に、$w_{i0}$をウェイトとする$P_{it}/P_{i0}$と$Q_{it}/Q_{i0}$の共分散$s_{PQ}$は、

$s_{PQ} = \sum w_{i0} \left( \frac{P_{it}}{P_{i0}} - P_L \right) \left( \frac{Q_{it}}{Q_{i0}} - Q_L \right)$

と書けます。ここで、与えられた式と比較すると、

$s_{PQ} = \sum w_{i0} \frac{P_{it}}{P_{i0}} \frac{Q_{it}}{Q_{i0}} - 2(3 - P_L)$

なので、

$\sum w_{i0} \frac{P_{it}}{P_{i0}} \frac{Q_{it}}{Q_{i0}}$を展開すると

$\sum w_{i0} \frac{P_{it}}{P_{i0}} \frac{Q_{it}}{Q_{i0}} = \sum w_{i0} \left( \frac{P_{it}}{P_{i0}} \frac{Q_{it}}{Q_{i0}} \right)$

となります。与えられた情報から、$P_L = \sum w_{i0} \frac{P_{it}}{P_{i0}}$、$Q_L = \sum w_{i0} \frac{Q_{it}}{Q_{i0}}$であるため

$\sum w_{i0} \frac{P_{it}}{P_{i0}} \frac{Q_{it}}{Q_{i0}} - P_L Q_L = \sum w_{i0} \left( \frac{P_{it}}{P_{i0}} - P_L \right) \left( \frac{Q_{it}}{Q_{i0}} - Q_L \right)$

が成立するので、$2(3 - P_L) = P_L Q_L$である必要があります。

$\sum w_{i0} \frac{P_{it}}{P_{i0}} \frac{Q_{it}}{Q_{i0}}$は $P_P$ に相当するため，

$s_{PQ} = P_P - P_L Q_L$となります。

したがって，空欄2は$P_L Q_L$で、空欄3は$P_L Q_L$です。

$P_L$ と $P_P$ の関係式は

$\frac{P_P - P_L}{P_L} = r \frac{s_P s_Q}{P_L}$

なので、空欄4は$P_L$、空欄5は1となります。

3. 最終的な答え

1: $\frac{1}{\sum P_{it} Q_{it}}$

2: $P_L Q_L$

3: $P_L Q_L$

4: $P_L$

5: 1