画像に示された数式に基づいて、空欄 [2] と [3] を埋める問題です。特に、共分散 $s_{PQ}$ の式 $s_{PQ} = \sum_{i=1}^{n} w_{i0} (\frac{P_{it}}{P_{i0}} - P_L)(\frac{Q_{it}}{Q_{i0}} - Q_L) = [2] ([3] - P_L)$ の [2] と [3] に入るべきものを求めます。

1. 問題の内容

画像に示された数式に基づいて、空欄 [2] と [3] を埋める問題です。特に、共分散 $s_{PQ}$ の式

$s_{PQ} = \sum_{i=1}^{n} w_{i0} (\frac{P_{it}}{P_{i0}} - P_L)(\frac{Q_{it}}{Q_{i0}} - Q_L) = [2] ([3] - P_L)$

の [2] と [3] に入るべきものを求めます。

2. 解き方の手順

$s_{PQ}$ の式を展開して整理します。

$s_{PQ} = \sum_{i=1}^{n} w_{i0} (\frac{P_{it}}{P_{i0}} - P_L)(\frac{Q_{it}}{Q_{i0}} - Q_L)$

$= \sum_{i=1}^{n} w_{i0} (\frac{P_{it}Q_{it}}{P_{i0}Q_{i0}} - \frac{P_{it}}{P_{i0}}Q_L - \frac{Q_{it}}{Q_{i0}}P_L + P_L Q_L)$

$= \sum_{i=1}^{n} w_{i0} \frac{P_{it}Q_{it}}{P_{i0}Q_{i0}} - Q_L \sum_{i=1}^{n} w_{i0} \frac{P_{it}}{P_{i0}} - P_L \sum_{i=1}^{n} w_{i0} \frac{Q_{it}}{Q_{i0}} + P_L Q_L \sum_{i=1}^{n} w_{i0}$

ここで、$P_P = \sum_{i=1}^{n} w_{i0} \frac{P_{it}Q_{it}}{P_{i0}Q_{i0}}$, $P_L = \sum_{i=1}^{n} w_{i0} \frac{P_{it}}{P_{i0}}$, $Q_L = \sum_{i=1}^{n} w_{i0} \frac{Q_{it}}{Q_{i0}}$, $\sum_{i=1}^{n} w_{i0} = 1$ なので、

$s_{PQ} = P_P - Q_L P_L - P_L Q_L + P_L Q_L = P_P - P_L Q_L$

問題文には

$s_{PQ} = \sum_{i=1}^{n} w_{i0} (\frac{P_{it}}{P_{i0}} - P_L)(\frac{Q_{it}}{Q_{i0}} - Q_L) = [2] ([3] - P_L)$

とあるので、$s_{PQ}=P_P-Q_LP_L$をこの形式に変換することを考える。

問題文より$Q_L$は与えられていないので、$P_P-Q_LP_L$はこれ以上簡単にならない。

しかし、$s_{PQ}=P_P - P_L Q_L$から、$P_P$で括り出すことはできなさそうである。

ここで、問題文にある式

$P_P = \frac{\sum_{i=1}^{n} \frac{P_{it}Q_{it}}{P_{i0}Q_{i0}} P_{i0} Q_{i0}}{\sum_{i=1}^{n} P_{i0} Q_{i0}}=\sum_{i=1}^{n} w_{i0} \frac{P_{it}Q_{it}}{P_{i0}Q_{i0}}$

を用いる。

そうすると、$s_{PQ}$は、

$s_{PQ}= \sum_{i=1}^{n} w_{i0} \frac{P_{it}Q_{it}}{P_{i0}Q_{i0}} - P_L Q_L$

となり、これ以上簡単にすることができない。

もしかしたら画像の式が間違っている可能性があるので、確認する。

$P_P - Q_L P_L$から、$Q_L$を無理やり括りだすと、

$Q_L (P_P/Q_L - P_L)$

となり、これでは全く違う形になる。

再度問題を確認する。$s_{PQ}=\sum_{i=1}^{n} w_{i0} (\frac{P_{it}}{P_{i0}} - P_L)(\frac{Q_{it}}{Q_{i0}} - Q_L) = [2] ([3] - P_L)$

であり、$s_{PQ}=P_P - P_LQ_L$であったので、[2] [3] に入るものとしては$Q_L$しか考えられない。

しかし、これでは辻褄が合わないので、問題の式を疑うことにする。

$s_{PQ}$は$P_P - P_LQ_L$なので、[2] [3] にはそれぞれ$Q_L, P_L$が入るはずである。

3. 最終的な答え

画像に誤りがあると仮定すると、$Q_L$と$P_P$が答えになる。しかし、形式的に解答すると：

[2] = $Q_L$

[3] = $P_P$