画像に示された数式を基に、空欄 2 と 5 を埋める問題です。また、与えられた情報から導かれる関係式を理解することが求められています。

1. 問題の内容

画像に示された数式を基に、空欄 2 と 5 を埋める問題です。また、与えられた情報から導かれる関係式を理解することが求められています。

2. 解き方の手順

まず、空欄 2 が含まれる式を以下に示します。

$s_{PQ} = \sum_{i=1}^{n} w_{i0} (\frac{P_{it}}{P_{i0}} - P_L) (\frac{Q_{it}}{Q_{i0}} - Q_L) = 2 (\boxed{3} - P_L)$

この式は、価格変動と数量変動の共分散を表しています。 問題文から $Q_L = \sum_{i=1}^{n} w_{i0}\frac{Q_{it}}{Q_{i0}}$ であることがわかるので、

$s_{PQ} = \sum_{i=1}^{n} w_{i0} (\frac{P_{it}}{P_{i0}} - P_L) (\frac{Q_{it}}{Q_{i0}} - Q_L)$ を展開し整理すると、

$s_{PQ} = \sum_{i=1}^{n} w_{i0} \frac{P_{it}}{P_{i0}} \frac{Q_{it}}{Q_{i0}} - P_L \sum_{i=1}^{n} w_{i0} \frac{Q_{it}}{Q_{i0}} - Q_L \sum_{i=1}^{n} w_{i0} \frac{P_{it}}{P_{i0}} + P_L Q_L \sum_{i=1}^{n} w_{i0}$

$s_{PQ} = \sum_{i=1}^{n} w_{i0} \frac{P_{it}}{P_{i0}} \frac{Q_{it}}{Q_{i0}} - P_L Q_L - Q_L P_L + P_L Q_L$

$s_{PQ} = \sum_{i=1}^{n} w_{i0} \frac{P_{it}}{P_{i0}} \frac{Q_{it}}{Q_{i0}} - P_L Q_L$

ここで、$P_P = \sum_{i=1}^{n} w_{i0} \frac{P_{it}}{P_{i0}} \frac{Q_{it}}{Q_{i0}}$ より、

$s_{PQ} = P_P - P_L Q_L$

さらに、$P_P - 4 = r \frac{s_Ps_Q}{P_L} 5$ であるので、$P_P = r \frac{s_Ps_Q}{P_L} 5 + 4$ となります。

この関係が $s_{PQ} = \sum_{i=1}^{n} w_{i0} (\frac{P_{it}}{P_{i0}} - P_L) (\frac{Q_{it}}{Q_{i0}} - Q_L) = 2 (\boxed{3} - P_L)$ と整合性を持つようにします。

このことから、空欄 3 に入るべきものは、$Q_L$ だと考えられます。共分散の式から考えても$Q_L$が妥当です。

次に、空欄 5 が含まれる式は、

$\frac{P_P - 4}{P_L} = r \frac{s_Ps_Q}{P_L} \boxed{5}$

この式から、

$P_P - 4 = r \frac{s_Ps_Q}{P_L} \boxed{5} P_L$

が成り立つことがわかります。一方、$r = \frac{s_{PQ}}{s_P s_Q}$ であることを考慮すると、

$P_P - 4 = \frac{s_{PQ}}{s_P s_Q} \frac{s_Ps_Q}{P_L} \boxed{5} P_L = \frac{s_{PQ}}{P_L} \boxed{5} P_L$

したがって、空欄 5 には1が入ります。

3. 最終的な答え

空欄 2 : $Q_L$

空欄 5 : 1