慣性抵抗を受けながら落下する質点の運動方程式 $m\frac{d^2y}{dt^2} = -mg + c(\frac{dy}{dt})^2$ を解いて、速度 $v(t)$ を求めます。

1. 問題の内容

慣性抵抗を受けながら落下する質点の運動方程式 $m\frac{d^2y}{dt^2} = -mg + c(\frac{dy}{dt})^2$ を解いて、速度 $v(t)$ を求めます。

2. 解き方の手順

まず、$v = \frac{dy}{dt}$ と置き、$\frac{d^2y}{dt^2} = \frac{dv}{dt} = \frac{dv}{dy}\frac{dy}{dt} = v\frac{dv}{dy}$ を使って、運動方程式を書き換えます。

$m v \frac{dv}{dy} = -mg + cv^2$

次に、この微分方程式を解きます。変数分離を行いましょう。

$\frac{mv dv}{cv^2 - mg} = dy$

両辺を積分します。

$\int \frac{mv dv}{cv^2 - mg} = \int dy$

左辺の積分は、置換積分で解けます。$u = cv^2 - mg$ とすると、$du = 2cv dv$ なので、$v dv = \frac{1}{2c} du$。

$\int \frac{m}{c} \frac{1}{2} \frac{du}{u} = \int dy$

$\frac{m}{2c} \ln|u| = y + C_1$

$\frac{m}{2c} \ln|cv^2 - mg| = y + C_1$

$e^{\frac{2c}{m}(y + C_1)} = |cv^2 - mg|$

$cv^2 - mg = \pm e^{\frac{2c}{m}y + \frac{2c}{m}C_1} = Ce^{\frac{2c}{m}y}$ (C は定数)

$cv^2 = mg + Ce^{\frac{2c}{m}y}$

$v^2 = \frac{mg}{c} + \frac{C}{c}e^{\frac{2c}{m}y}$

$v = \pm \sqrt{\frac{mg}{c} + Ae^{\frac{2c}{m}y}}$ (A は定数)

次に、$\frac{dv}{dt} = \frac{1}{m} (-mg + cv^2)$ のように $v$ だけの式に戻して解きます。

$\frac{dv}{cv^2 - mg} = \frac{dt}{m}$

$\int \frac{dv}{cv^2 - mg} = \int \frac{dt}{m}$

$\int \frac{dv}{c(v^2 - \frac{mg}{c})} = \int \frac{dt}{m}$

$\int \frac{dv}{v^2 - \frac{mg}{c}} = \frac{c}{m} \int dt$

$\frac{mg}{c} = a^2$ とおくと、$\int \frac{dv}{v^2 - a^2} = \frac{1}{2a} \ln|\frac{v-a}{v+a}| + C_2$

$\frac{1}{2\sqrt{\frac{mg}{c}}} \ln|\frac{v - \sqrt{\frac{mg}{c}}}{v + \sqrt{\frac{mg}{c}}}| = \frac{c}{m}t + C_2$

$\ln|\frac{v - \sqrt{\frac{mg}{c}}}{v + \sqrt{\frac{mg}{c}}}| = 2\sqrt{\frac{mg}{c}} \frac{c}{m} t + C_3$

$\ln|\frac{v - \sqrt{\frac{mg}{c}}}{v + \sqrt{\frac{mg}{c}}}| = 2\sqrt{\frac{c}{m} \frac{mg}{c}} t + C_3 = 2\sqrt{\frac{cg}{m}} t + C_3$

$\frac{v - \sqrt{\frac{mg}{c}}}{v + \sqrt{\frac{mg}{c}}} = Ae^{2\sqrt{\frac{cg}{m}} t}$ (A は定数)

$v - \sqrt{\frac{mg}{c}} = Ae^{2\sqrt{\frac{cg}{m}} t} (v + \sqrt{\frac{mg}{c}})$

$v(1 - Ae^{2\sqrt{\frac{cg}{m}} t}) = \sqrt{\frac{mg}{c}}(1 + Ae^{2\sqrt{\frac{cg}{m}} t})$

$v(t) = \sqrt{\frac{mg}{c}} \frac{1 + Ae^{2\sqrt{\frac{cg}{m}} t}}{1 - Ae^{2\sqrt{\frac{cg}{m}} t}}$

初期条件 $v(0) = 0$ を仮定すると

$0 = \sqrt{\frac{mg}{c}} \frac{1+A}{1-A} \implies 1 + A = 0 \implies A = -1$

$v(t) = \sqrt{\frac{mg}{c}} \frac{1 - e^{2\sqrt{\frac{cg}{m}} t}}{1 + e^{2\sqrt{\frac{cg}{m}} t}} = \sqrt{\frac{mg}{c}} \frac{e^{-\sqrt{\frac{cg}{m}} t} - e^{\sqrt{\frac{cg}{m}} t}}{e^{-\sqrt{\frac{cg}{m}} t} + e^{\sqrt{\frac{cg}{m}} t}} = - \sqrt{\frac{mg}{c}} \tanh (\sqrt{\frac{cg}{m}} t)$

3. 最終的な答え

$v(t) = -\sqrt{\frac{mg}{c}} \tanh \left( \sqrt{\frac{cg}{m}} t \right)$