ボールが速度に比例する空気抵抗を受ける場合を考える。ボールを投げ上げた時刻を $t=0$、速度の鉛直上方成分の大きさを $V_0$ として、ボールが最高到達点に達する時刻 $T_M$ を、ボールの質量 $m$ と比例定数 $\lambda$、$V_0$、$g$ を用いて表す。与えられた式 $T_M = m^A \lambda^B \log(C + m^D \lambda^E V_0^F g^G)$ における整数 $A$ の値を求める。

1. 問題の内容

ボールが速度に比例する空気抵抗を受ける場合を考える。ボールを投げ上げた時刻を $t=0$、速度の鉛直上方成分の大きさを $V_0$ として、ボールが最高到達点に達する時刻 $T_M$ を、ボールの質量 $m$ と比例定数 $\lambda$、$V_0$、$g$ を用いて表す。与えられた式

$T_M = m^A \lambda^B \log(C + m^D \lambda^E V_0^F g^G)$

における整数 $A$ の値を求める。

2. 解き方の手順

ボールが速度に比例する空気抵抗を受ける場合の運動方程式を考える。鉛直上向きを正とすると、運動方程式は

$m \frac{dv}{dt} = -mg - \lambda v$

となる。ここで、$v$ はボールの速度、$g$ は重力加速度、$\lambda$ は比例定数である。

初期条件は $t=0$ で $v=V_0$ である。この微分方程式を解くと、

$v(t) = (V_0 + \frac{mg}{\lambda})e^{-\frac{\lambda}{m}t} - \frac{mg}{\lambda}$

となる。最高到達点では $v=0$ なので、

$0 = (V_0 + \frac{mg}{\lambda})e^{-\frac{\lambda}{m}T_M} - \frac{mg}{\lambda}$

$e^{-\frac{\lambda}{m}T_M} = \frac{mg}{\lambda V_0 + mg}$

$-\frac{\lambda}{m}T_M = \log(\frac{mg}{\lambda V_0 + mg})$

$T_M = -\frac{m}{\lambda}\log(\frac{mg}{\lambda V_0 + mg}) = \frac{m}{\lambda}\log(\frac{\lambda V_0 + mg}{mg}) = \frac{m}{\lambda}\log(1 + \frac{\lambda V_0}{mg})$

したがって、

$T_M = \frac{m}{\lambda} \log(1 + \frac{\lambda V_0}{mg})$

$T_M = m^1 \lambda^{-1} \log(1 + m^{-1} \lambda^1 V_0^1 g^{-1})$

与えられた式と比較すると、

$A = 1, B = -1, C = 1, D = -1, E = 1, F = 1, G = -1$

したがって、$A=1$ である。

3. 最終的な答え

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