総費用 $TC = X^3 - 8X^2 + 30X + 5$ が与えられたとき、平均可変費用 $AVC$ を求め、$AVC = (8)X^2 - (9)X + (10)$ の形で表したときの $(8)$, $(9)$, $(10)$ に入る数字を求めよ。特に、問題では $(10)$ に入る数字を答えることを要求している。

1. 問題の内容

総費用 $TC = X^3 - 8X^2 + 30X + 5$ が与えられたとき、平均可変費用 $AVC$ を求め、$AVC = (8)X^2 - (9)X + (10)$ の形で表したときの $(8)$, $(9)$, $(10)$ に入る数字を求めよ。特に、問題では $(10)$ に入る数字を答えることを要求している。

2. 解き方の手順

まず、可変費用 $VC$ を求める。総費用 $TC$ は可変費用 $VC$ と固定費用 $FC$ の和で表される。

$TC = VC + FC$

与えられた総費用 $TC = X^3 - 8X^2 + 30X + 5$ において、$X$ に依存しない項が固定費用 $FC$ である。つまり、$FC = 5$ である。

したがって、可変費用 $VC$ は

$VC = TC - FC = (X^3 - 8X^2 + 30X + 5) - 5 = X^3 - 8X^2 + 30X$

平均可変費用 $AVC$ は、可変費用 $VC$ を生産量 $X$ で割ったものである。

$AVC = \frac{VC}{X} = \frac{X^3 - 8X^2 + 30X}{X} = X^2 - 8X + 30$

したがって、$AVC = X^2 - 8X + 30$ となる。

問題文の形 $AVC = (8)X^2 - (9)X + (10)$ と比較すると、

$(8) = 1$, $(9) = 8$, $(10) = 30$

求めるべきは $(10)$ に入る数字なので、$30$ が答えである。

3. 最終的な答え

30