総費用 $TC$ が $TC = X^3 - 8X^2 + 30X + 5$ で与えられているとき、可変費用 $VC$ を $VC = (\text{定数}) X^3 - (\text{定数}) X^2 + (\text{定数}) X$ の形で表し、この表現における $X$ の係数（定数）を求める。

1. 問題の内容

総費用 $TC$ が $TC = X^3 - 8X^2 + 30X + 5$ で与えられているとき、可変費用 $VC$ を $VC = (\text{定数}) X^3 - (\text{定数}) X^2 + (\text{定数}) X$ の形で表し、この表現における $X$ の係数（定数）を求める。

2. 解き方の手順

総費用 $TC$ は可変費用 $VC$ と固定費用 $FC$ の和で表されます。すなわち、

$TC = VC + FC$

与えられた総費用の式 $TC = X^3 - 8X^2 + 30X + 5$ と、可変費用の形 $VC = (\text{定数}) X^3 - (\text{定数}) X^2 + (\text{定数}) X$ を用いると、固定費用 $FC$ は、

$FC = TC - VC$

となります。

$TC$ の式において、$X$ を含まない項が固定費用 $FC$ に対応します。$TC = X^3 - 8X^2 + 30X + 5$ の定数項は $5$ なので、$FC = 5$ となります。

したがって、可変費用 $VC$ は

$VC = TC - FC = (X^3 - 8X^2 + 30X + 5) - 5 = X^3 - 8X^2 + 30X$

となります。

問題文の可変費用の形 $VC = (\text{定数}) X^3 - (\text{定数}) X^2 + (\text{定数}) X$ と比較すると、$X$ の係数は $30$ であることがわかります。

3. 最終的な答え

30