質量 $M$ 、半径 $a$ の一様な球の中心を通る軸についての慣性モーメントを求めます。 (1) 球の中心を原点 $O$ とし、任意の座標 $z$ で $xy$ 平面に平行に切った面を考えます。この面は円になるので、微小な厚み $dz$ をもつ円板と考え、この円板の慣性モーメントを $z$ 座標を用いて表します。ただし、密度は $\rho$ とします。 (2) 球は(1)の円板を重ねたものと考えることができます。円板の厚みを $dz$ とし、球の中心軸に関する慣性モーメントを求めます。なお、密度 $\rho$ は $M$ , $a$ を用いて表してから計算します。 ($\rho$ のままにしないこと)

以下に問題の解答を示します。

1. 問題の内容

質量 $M$ 、半径 $a$ の一様な球の中心を通る軸についての慣性モーメントを求めます。

(1) 球の中心を原点 $O$ とし、任意の座標 $z$ で $xy$ 平面に平行に切った面を考えます。この面は円になるので、微小な厚み $dz$ をもつ円板と考え、この円板の慣性モーメントを $z$ 座標を用いて表します。ただし、密度は $\rho$ とします。

(2) 球は(1)の円板を重ねたものと考えることができます。円板の厚みを $dz$ とし、球の中心軸に関する慣性モーメントを求めます。なお、密度 $\rho$ は $M$ , $a$ を用いて表してから計算します。 ($\rho$ のままにしないこと)

2. 解き方の手順

(1) $z$ 座標における円板の半径を $r$ とすると、$r^2 + z^2 = a^2$ が成り立ちます。よって、$r = \sqrt{a^2 - z^2}$ となります。

円板の面積は $S = \pi r^2 = \pi (a^2 - z^2)$ です。

円板の体積は $dV = S dz = \pi (a^2 - z^2) dz$ です。

円板の質量は $dm = \rho dV = \rho \pi (a^2 - z^2) dz$ です。

円板の慣性モーメント $dI$ は、$dI = \frac{1}{2} dm r^2 = \frac{1}{2} \rho \pi (a^2 - z^2) dz (a^2 - z^2) = \frac{1}{2} \rho \pi (a^2 - z^2)^2 dz$ となります。

(2) 球全体の慣性モーメント $I$ は、円板の慣性モーメント $dI$ を $-a$ から $a$ まで積分することで求められます。

$I = \int_{-a}^{a} dI = \int_{-a}^{a} \frac{1}{2} \rho \pi (a^2 - z^2)^2 dz = \frac{1}{2} \rho \pi \int_{-a}^{a} (a^4 - 2a^2 z^2 + z^4) dz$

$I = \frac{1}{2} \rho \pi \left[ a^4 z - \frac{2}{3} a^2 z^3 + \frac{1}{5} z^5 \right]_{-a}^{a} = \frac{1}{2} \rho \pi \left[ (a^5 - \frac{2}{3} a^5 + \frac{1}{5} a^5) - (-a^5 + \frac{2}{3} a^5 - \frac{1}{5} a^5) \right]$

$I = \frac{1}{2} \rho \pi \left[ 2a^5 - \frac{4}{3} a^5 + \frac{2}{5} a^5 \right] = \rho \pi a^5 \left[ 1 - \frac{2}{3} + \frac{1}{5} \right] = \rho \pi a^5 \left[ \frac{15 - 10 + 3}{15} \right] = \frac{8}{15} \rho \pi a^5$

球の質量 $M$ は $M = \frac{4}{3} \pi a^3 \rho$ なので、$\rho = \frac{3M}{4\pi a^3}$ となります。

これを $I$ に代入すると、

$I = \frac{8}{15} \cdot \frac{3M}{4\pi a^3} \cdot \pi a^5 = \frac{2}{5} M a^2$

3. 最終的な答え

$\frac{2}{5} M a^2$