与えられたx-tグラフ、v-tグラフ、a-tグラフをもとに、以下の問いに答える。 (1) 加速時の加速度 $a_1$ と減速時の加速度 $-a_2$ を、$v, t_1, t_2, t_3$ で表す。 (2) 位置 $x_1, x_2, x_3$ を、$v, t_1, t_2, t_3$ で表す。 (3) $t_2 < t < t_3$ における位置 $x$ が、$x = x_2 + v(t - t_2) - \frac{a_2(t - t_2)^2}{2}$ であることを示す。

1. 問題の内容

与えられたx-tグラフ、v-tグラフ、a-tグラフをもとに、以下の問いに答える。

(1) 加速時の加速度 $a_1$ と減速時の加速度 $-a_2$ を、$v, t_1, t_2, t_3$ で表す。

(2) 位置 $x_1, x_2, x_3$ を、$v, t_1, t_2, t_3$ で表す。

(3) $t_2 < t < t_3$ における位置 $x$ が、$x = x_2 + v(t - t_2) - \frac{a_2(t - t_2)^2}{2}$ であることを示す。

2. 解き方の手順

(1) 加速時の加速度 $a_1$ は、v-tグラフの傾きから求めることができる。$t_1$ の間に速度が 0 から v に変化しているので、$a_1 = \frac{v}{t_1}$ となる。

減速時の加速度 $-a_2$ も、v-tグラフの傾きから求めることができる。$t_2$ から $t_3$ の間に速度が v から 0 に変化しているので、$-a_2 = \frac{0 - v}{t_3 - t_2} = -\frac{v}{t_3 - t_2}$。したがって、$a_2 = \frac{v}{t_3 - t_2}$ となる。

(2) 位置 $x_1$ は、t=0 から t=$t_1$ までの変位を表す。これは、x-tグラフから読み取れる。この間は等加速度運動をしているので、$x_1 = \frac{1}{2} a_1 t_1^2 = \frac{1}{2} \frac{v}{t_1} t_1^2 = \frac{1}{2} v t_1$ となる。

位置 $x_2$ は、t=0 から t=$t_2$ までの変位を表す。$t_1$ までは等加速度運動、 $t_1$ から $t_2$ までは等速運動をしているので、$x_2 = x_1 + v(t_2 - t_1) = \frac{1}{2} v t_1 + v(t_2 - t_1) = v(t_2 - \frac{1}{2} t_1)$ となる。

位置 $x_3$ は、t=0 から t=$t_3$ までの変位を表す。$x_2$ まではすでに計算されており、$t_2$ から $t_3$ までは等加速度運動(減速)をしているので、$x_3 = x_2 + v(t_3 - t_2) - \frac{1}{2}a_2 (t_3 - t_2)^2 = v(t_2 - \frac{1}{2} t_1) + v(t_3 - t_2) - \frac{1}{2} \frac{v}{t_3 - t_2} (t_3 - t_2)^2 = v(t_3 - \frac{1}{2}t_1) - \frac{1}{2} v(t_3 - t_2) = v(\frac{1}{2} t_3 + \frac{1}{2} t_2 - \frac{1}{2} t_1)$.

(3) $t_2 < t < t_3$ における位置 $x$ は、時刻 $t_2$ における位置 $x_2$ からの変位を考える。時刻 $t_2$ から $t$ までの時間は $t - t_2$ である。この間は等加速度運動（減速）をしているので、位置 $x$ は、$x = x_2 + v(t - t_2) - \frac{1}{2}a_2 (t - t_2)^2$ と表せる。ここで、$a_2 = \frac{v}{t_3 - t_2}$ を代入しても良いが、問題文の式を示すことが目的なので、この式が成り立つことを示す。

3. 最終的な答え

(1) $a_1 = \frac{v}{t_1}$, $a_2 = \frac{v}{t_3 - t_2}$

(2) $x_1 = \frac{1}{2} v t_1$, $x_2 = v(t_2 - \frac{1}{2} t_1)$, $x_3 = v(\frac{1}{2} t_3 + \frac{1}{2} t_2 - \frac{1}{2} t_1)$

(3) $t_2 < t < t_3$ における位置 $x$ は $x = x_2 + v(t - t_2) - \frac{a_2(t - t_2)^2}{2}$ で表される。