長さ2m、直径40mmの中実丸軸にねじりをかけたところ、24MPaのねじり応力が生じた。横弾性係数を78.8GPaとするとき、ねじれ角を度で求め、かけられたねじりモーメントを求める。ヒントとして、$\tau = G\gamma$、$\gamma = \frac{d \cdot \theta}{2l}$ が与えられている。また、$T = \tau Z_p$が与えられている。

1. 問題の内容

長さ2m、直径40mmの中実丸軸にねじりをかけたところ、24MPaのねじり応力が生じた。横弾性係数を78.8GPaとするとき、ねじれ角を度で求め、かけられたねじりモーメントを求める。ヒントとして、$\tau = G\gamma$、$\gamma = \frac{d \cdot \theta}{2l}$ が与えられている。また、$T = \tau Z_p$が与えられている。

2. 解き方の手順

(1) せん断ひずみ $\gamma$ を求める。

$\tau = G\gamma$ より、$\gamma = \frac{\tau}{G}$。

ここで、$\tau = 24 \text{ MPa} = 24 \times 10^6 \text{ Pa}$、 $G = 78.8 \text{ GPa} = 78.8 \times 10^9 \text{ Pa}$ なので、

$\gamma = \frac{24 \times 10^6}{78.8 \times 10^9} = \frac{24}{78800} \approx 0.000304568$

(2) ねじれ角 $\theta$ (ラジアン) を求める。

$\gamma = \frac{d \cdot \theta}{2l}$ より、$\theta = \frac{2l\gamma}{d}$。

ここで、$l = 2 \text{ m}$、$d = 40 \text{ mm} = 0.04 \text{ m}$ なので、

$\theta = \frac{2 \times 2 \times 0.000304568}{0.04} = \frac{0.001218272}{0.04} \approx 0.0304568 \text{ rad}$

(3) ねじれ角 $\theta$ (度) を求める。

$\theta [\text{度}] = \theta [\text{rad}] \times \frac{180}{\pi}$ より、

$\theta [\text{度}] = 0.0304568 \times \frac{180}{\pi} \approx 1.745 \text{ 度}$

(4) ねじりモーメント $T$ を求める。

$T = \tau Z_p$ より、

$Z_p = \frac{\pi d^3}{16} = \frac{\pi \times (0.04)^3}{16} = \frac{\pi \times 0.000064}{16} = \frac{0.00020106}{16} \approx 0.000012566 \text{ m}^3$

$T = 24 \times 10^6 \times 0.000012566 = 301.584 \text{ Nm}$

3. 最終的な答え

ねじれ角: 1.745 度

ねじりモーメント: 301.584 Nm