## 1. 問題の内容

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1. 問題の内容

この問題は、3つの物理の問題から構成されています。それぞれ以下の通りです。

* **(05e)**：初速度 $v_0$ で投げ上げられた小球が、高さ $H$ に到達した時の速度を、 $v_0$, $H$, $g$ を用いて表す。

* **(05f)**：初速度 $v_0$ で投げ下ろされた小球が、速度 $3v_0$ になるまでの時間を、 $v_0$, $g$ を用いて表す。

* **(05g)**：初速度 $v_0$ で投げ下ろされた小球が、距離 $H$ だけ落下するのに要する時間を、$v_0$, $H$, $g$ を用いて表す。ただし、時間は正の値のみを答える。

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2. 解き方の手順

### (05e)

エネルギー保存則を利用します。

初めのエネルギーは運動エネルギーのみで $\frac{1}{2}mv_0^2$ です。

高さ $H$ に到達したとき、運動エネルギーと位置エネルギーの和になります。運動エネルギーは $\frac{1}{2}mv^2$ (vは求める速度) で、位置エネルギーは $mgH$ です。

したがって、

$\frac{1}{2}mv_0^2 = \frac{1}{2}mv^2 + mgH$

両辺を $m$ で割って整理すると、

$\frac{1}{2}v_0^2 = \frac{1}{2}v^2 + gH$

$\frac{1}{2}v^2 = \frac{1}{2}v_0^2 - gH$

$v^2 = v_0^2 - 2gH$

$v = \sqrt{v_0^2 - 2gH}$

### (05f)

等加速度運動の公式を利用します。

$v = v_0 + at$

ここで、 $v$ は最終速度、$v_0$ は初速度、$a$ は加速度、$t$ は時間です。

問題文より、 $v = 3v_0$ であり、$a = g$ です。

したがって、

$3v_0 = v_0 + gt$

$2v_0 = gt$

$t = \frac{2v_0}{g}$

### (05g)

等加速度運動の公式を利用します。

$y = v_0t + \frac{1}{2}at^2$

ここで、$y$ は移動距離、$v_0$ は初速度、$a$ は加速度、$t$ は時間です。

問題文より、$y = H$ であり、$a = g$ です。

したがって、

$H = v_0t + \frac{1}{2}gt^2$

$\frac{1}{2}gt^2 + v_0t - H = 0$

これは $t$ に関する二次方程式なので、解の公式を利用します。

$t = \frac{-v_0 \pm \sqrt{v_0^2 - 4 \cdot \frac{1}{2}g \cdot (-H)}}{2 \cdot \frac{1}{2}g}$

$t = \frac{-v_0 \pm \sqrt{v_0^2 + 2gH}}{g}$

時間は正の値をとるので、

$t = \frac{-v_0 + \sqrt{v_0^2 + 2gH}}{g}$

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3. 最終的な答え

* **(05e)**：$v = \sqrt{v_0^2 - 2gH}$

* **(05f)**：$t = \frac{2v_0}{g}$

* **(05g)**：$t = \frac{-v_0 + \sqrt{v_0^2 + 2gH}}{g}$