ある物体の $x$-$t$ グラフ, $v$-$t$ グラフ, $a$-$t$ グラフが図3に示されている。 (1) 加速の際の加速度 $a_1$, 減速の際の加速度 $-a_2$ を $v$, $t_1$, $t_2$, $t_3$ で表せ。 (2) 位置 $x_1$, $x_2$, $x_3$ を $v$, $t_1$, $t_2$, $t_3$ で表せ。

1. 問題の内容

ある物体の $x$-$t$ グラフ, $v$-$t$ グラフ, $a$-$t$ グラフが図3に示されている。

(1) 加速の際の加速度 $a_1$, 減速の際の加速度 $-a_2$ を $v$, $t_1$, $t_2$, $t_3$ で表せ。

(2) 位置 $x_1$, $x_2$, $x_3$ を $v$, $t_1$, $t_2$, $t_3$ で表せ。

2. 解き方の手順

(1) 加速の際の加速度 $a_1$ は、速度が0から $v$ に変化する時間 $t_1$ の間の加速度であるから、

$a_1 = \frac{v - 0}{t_1 - 0} = \frac{v}{t_1}$

減速の際の加速度 $-a_2$ は、速度が $v$ から 0 に変化する時間 $t_3-t_2$ の間の加速度であるから、

$-a_2 = \frac{0 - v}{t_3 - t_2} = -\frac{v}{t_3 - t_2}$

したがって、$a_2 = \frac{v}{t_3 - t_2}$

(2) $x_1$ は、時刻 $t_1$ における位置なので、加速区間の移動距離に初期位置（原点）を足したものである。

$x_1 = 0 + \frac{1}{2} a_1 t_1^2 = \frac{1}{2} \frac{v}{t_1} t_1^2 = \frac{1}{2}vt_1$

$x_2$ は、時刻 $t_2$ における位置なので、加速区間と等速区間の移動距離の合計である。加速区間は$x_1$と同じである。

$x_2 = x_1 + v(t_2 - t_1) = \frac{1}{2}vt_1 + v(t_2 - t_1) = vt_2 - \frac{1}{2}vt_1$

$x_3$ は、時刻 $t_3$ における位置なので、加速区間、等速区間、減速区間の移動距離の合計である。

$x_3 = x_2 + v(t_3 - t_2) + \frac{1}{2}(-a_2)(t_3 - t_2)^2 = x_2 + v(t_3 - t_2) - \frac{1}{2} \frac{v}{t_3 - t_2} (t_3 - t_2)^2 = vt_2 - \frac{1}{2}vt_1 + v(t_3 - t_2) - \frac{1}{2} v (t_3 - t_2) = vt_3 - \frac{1}{2}vt_1 - \frac{1}{2}vt_2 = v(t_3 - \frac{1}{2}t_1 - \frac{1}{2}t_2)$

3. 最終的な答え

(1) $a_1 = \frac{v}{t_1}$, $a_2 = \frac{v}{t_3 - t_2}$

(2) $x_1 = \frac{1}{2}vt_1$, $x_2 = vt_2 - \frac{1}{2}vt_1$, $x_3 = v(t_3 - \frac{1}{2}t_1 - \frac{1}{2}t_2)$