質量 $M$、半径 $R$ の一様な円板が、円板の中心を通り円板に垂直な回転軸のまわりを角速度 $\omega_0$ で回転している。この円板のふちに接線方向に一定の摩擦力 $F$ を加えたところ、ある一定の時間の後に円板は静止した。力を加えてから円板が静止するまでの時間を求めよ。ただし、円板の慣性モーメントは $I = \frac{1}{2}MR^2$ である。

1. 問題の内容

質量 $M$、半径 $R$ の一様な円板が、円板の中心を通り円板に垂直な回転軸のまわりを角速度 $\omega_0$ で回転している。この円板のふちに接線方向に一定の摩擦力 $F$ を加えたところ、ある一定の時間の後に円板は静止した。力を加えてから円板が静止するまでの時間を求めよ。ただし、円板の慣性モーメントは $I = \frac{1}{2}MR^2$ である。

2. 解き方の手順

円板に働くトルク $\tau$ は、力 $F$ と半径 $R$ の積で表される。

$\tau = FR$

トルクと角加速度 $\alpha$ の関係は、以下のように表される。

$\tau = I \alpha$

ここで、$I$ は慣性モーメントである。与えられた慣性モーメントの式を代入すると、

$FR = \frac{1}{2}MR^2 \alpha$

この式から角加速度 $\alpha$ を求める。

$\alpha = \frac{2FR}{MR^2} = \frac{2F}{MR}$

角加速度は角速度の時間変化率なので、

$\alpha = \frac{d\omega}{dt}$

したがって、

$\frac{d\omega}{dt} = \frac{2F}{MR}$

これを積分して、角速度 $\omega(t)$ を求める。初期条件として $t=0$ のとき $\omega = \omega_0$ を用いる。

$\int_{\omega_0}^{\omega} d\omega = \int_{0}^{t} \frac{2F}{MR} dt$

$\omega - \omega_0 = \frac{2F}{MR} t$

$\omega(t) = \omega_0 - \frac{2F}{MR}t$

円板が静止するとき、$\omega(t) = 0$ となるので、そのときの時間 $t$ を $T$ とすると、

$0 = \omega_0 - \frac{2F}{MR}T$

これから、円板が静止するまでの時間 $T$ を求める。

$T = \frac{\omega_0 MR}{2F}$

3. 最終的な答え

円板が静止するまでの時間は $\frac{\omega_0 MR}{2F}$ である。