完全競争市場における企業の平均費用 $AC$ が $AC = X^2 - 6X + 24$ (ただし、$X$ は生産量、$X > 0$) で与えられている。この財の市場価格が39であるとき、最適生産量を求めよ。

1. 問題の内容

完全競争市場における企業の平均費用 $AC$ が $AC = X^2 - 6X + 24$ (ただし、$X$ は生産量、$X > 0$) で与えられている。この財の市場価格が39であるとき、最適生産量を求めよ。

2. 解き方の手順

完全競争市場では、企業は価格を所与として利潤を最大化するように行動する。利潤を最大化するためには、限界費用 $MC$ と価格 $P$ が等しくなるように生産量を決定する必要がある。

平均費用 $AC$ から総費用 $TC$ を求める。総費用は、平均費用に生産量をかけたものであるから、

$TC = AC \times X = (X^2 - 6X + 24) \times X = X^3 - 6X^2 + 24X$

次に、総費用 $TC$ から限界費用 $MC$ を求める。限界費用は、総費用を生産量 $X$ で微分したものであるから、

$MC = \frac{dTC}{dX} = 3X^2 - 12X + 24$

市場価格が39であるとき、限界費用と市場価格が等しくなるように生産量を決定する。つまり、$MC = P = 39$ を満たす $X$ を求める。

$3X^2 - 12X + 24 = 39$

$3X^2 - 12X - 15 = 0$

$X^2 - 4X - 5 = 0$

$(X - 5)(X + 1) = 0$

したがって、$X = 5$ または $X = -1$ である。しかし、$X > 0$ であるから、$X = 5$ が最適生産量となる。

3. 最終的な答え

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