ボールを投げる角度と飛距離の関係を考察する問題です。水平方向から45°と30°の角度でボールを発射した場合の放物線の軌跡について、頂点の座標、地面からの高さ、水平距離などを求め、最後にどちらの角度で投げた方が遠くまで飛ぶかを判断します。

## 数学の問題の解答

1. 問題の内容

ボールを投げる角度と飛距離の関係を考察する問題です。水平方向から45°と30°の角度でボールを発射した場合の放物線の軌跡について、頂点の座標、地面からの高さ、水平距離などを求め、最後にどちらの角度で投げた方が遠くまで飛ぶかを判断します。

2. 解き方の手順

(1) 水平方向から45°の方向にボールを発射した場合

ボールの軌道は $y = -\frac{1}{20}x^2 + x$ で表されます。

* 放物線の頂点の座標を求めるには、式を平方完成します。

$y = -\frac{1}{20}(x^2 - 20x)$

$y = -\frac{1}{20}(x^2 - 20x + 100 - 100)$

$y = -\frac{1}{20}(x - 10)^2 + 5$

よって、頂点の座標は (10, 5) です。

* ボールが最も高い位置にあるとき、地面からの高さは $y$ 座標の値である 5 です。そのときの水平距離 $x$ は $x$ 座標の値である 10 です。

* 発射したボールが地面に落下するまでの間に進んだ水平距離 $x$ は、$y = 0$ となる $x$ を求めることでわかります。

$-\frac{1}{20}x^2 + x = 0$

$x(-\frac{1}{20}x + 1) = 0$

$x = 0$ または $x = 20$

したがって、水平距離は 20 です。

(2) 水平方向から30°の方向にボールを発射した場合

ボールの軌道は $y = -\frac{1}{30}x^2 + \frac{1}{3}x$ で表されます。

発射したボールが地面に落下するまでの間に進んだ水平距離を求めるには、$y = 0$ となる $x$ を求めます。

$-\frac{1}{30}x^2 + \frac{1}{3}x = 0$

$x(-\frac{1}{30}x + \frac{1}{3}) = 0$

$x = 0$ または $x = 10$

したがって、水平距離は 10 です。

(3) 高さ20の位置からボールを発射した場合

高さが20の位置から発射した場合は、45°と30°の軌道を表す放物線を、y軸の正の方向へ20だけ平行移動したものと考えます。

* 45°の場合：

$y = -\frac{1}{20}x^2 + x + 20$ となり、落下地点は$-\frac{1}{20}x^2 + x + 20 = 0$を解けば良い。

判別式 $D = 1 + 4 * \frac{1}{20} * 20 = 5$となるので、$x = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{- \frac{2}{20}} = 10 + 10\sqrt{5}$

よって水平距離は $10 + 10\sqrt{5}$

* 30°の場合：

$y = -\frac{1}{30}x^2 + \frac{1}{3}x + 20$ となり、落下地点は$-\frac{1}{30}x^2 + \frac{1}{3}x + 20 = 0$を解けば良い。

判別式 $D = (\frac{1}{3})^2 - 4 * (-\frac{1}{30})*20 = \frac{1}{9} + \frac{8}{3} = \frac{25}{9}$となるので、$x = \frac{-\frac{1}{3} \pm \frac{5}{3}}{- \frac{2}{30}} = \frac{-\frac{1}{3} - \frac{5}{3}}{- \frac{2}{30}} = \frac{2}{\frac{2}{30}} = 30$

よって水平距離は $15 + 5\sqrt{17} \approx 35.6$

最終的に45°の場合: $10 + 10\sqrt{5} = 10 + 10*2.236 = 32.36$

(4)結論

水平方向から45°の方向に発射した方が、地面に落下するまでの間に進んだ水平距離が長いことが分かります。

3. 最終的な答え

* アイ: 10

* ウ: 5

* エオ: 20

* カキク: 10

* ケコサ: 10 + 10√5

* シスセ: 15 + 5√17

* ソ: (1)