太郎さんと花子さんがハンドボールを投げる角度について考察している問題です。まず、水平方向から15°の角度でボールを発射した場合のボールの軌道が与えられ、その軌道の頂点の座標、最も高い位置での地面からの高さ、その時の水平距離、およびボールが地面に落下するまでの水平距離を求める必要があります。次に、水平方向から30°の角度でボールを発射した場合のボールの軌道が与えられ、同様にボールが地面に落下するまでの水平距離を求めます。

1. 問題の内容

太郎さんと花子さんがハンドボールを投げる角度について考察している問題です。まず、水平方向から15°の角度でボールを発射した場合のボールの軌道が与えられ、その軌道の頂点の座標、最も高い位置での地面からの高さ、その時の水平距離、およびボールが地面に落下するまでの水平距離を求める必要があります。次に、水平方向から30°の角度でボールを発射した場合のボールの軌道が与えられ、同様にボールが地面に落下するまでの水平距離を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 水平方向から15°の角度でボールを発射した場合：

ボールの軌道は $y = -\frac{1}{20}x^2 + \frac{1}{\sqrt{3}}x$ で表されます。

* 頂点の座標を求める：

$y$ を $x$ で微分して0とおくと、頂点の $x$ 座標が求められます。

$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{10}x + \frac{1}{\sqrt{3}} = 0$

$x = \frac{10}{\sqrt{3}} = \frac{10\sqrt{3}}{3}$

これを $y$ に代入して頂点の $y$ 座標を求めます。

$y = -\frac{1}{20} (\frac{10}{\sqrt{3}})^2 + \frac{1}{\sqrt{3}} (\frac{10}{\sqrt{3}}) = -\frac{1}{20} \cdot \frac{100}{3} + \frac{10}{3} = -\frac{5}{3} + \frac{10}{3} = \frac{5}{3}$

よって、頂点の座標は $(\frac{10\sqrt{3}}{3}, \frac{5}{3})$です。したがって、アイ＝10√3/3、ウ＝5/3。

* 最も高い位置での地面からの高さ：

頂点の $y$ 座標が最も高い位置での地面からの高さなので、$\frac{5}{3}$ です。したがって、ウ＝5/3。

* 最も高い位置での水平距離：

頂点の $x$ 座標が最も高い位置での水平距離なので、$\frac{10\sqrt{3}}{3}$ です。したがって、アイ＝10√3/3。

* 地面に落下するまでの水平距離：

$y=0$ を代入して $x$ を求めます。

$-\frac{1}{20}x^2 + \frac{1}{\sqrt{3}}x = 0$

$x (-\frac{1}{20}x + \frac{1}{\sqrt{3}}) = 0$

$x = 0$ または $x = \frac{20}{\sqrt{3}} = \frac{20\sqrt{3}}{3}$

$x=0$ は発射地点なので、地面に落下するまでの水平距離は $\frac{20\sqrt{3}}{3}$です。したがって、エオ＝20√3/3。

(2) 水平方向から30°の角度でボールを発射した場合：

ボールの軌道は $y = -\frac{1}{30}x^2 + \frac{1}{\sqrt{3}}x$ で表されます。

地面に落下するまでの水平距離を求めるには、$y=0$ を代入して $x$ を求めます。

$-\frac{1}{30}x^2 + \frac{1}{\sqrt{3}}x = 0$

$x (-\frac{1}{30}x + \frac{1}{\sqrt{3}}) = 0$

$x = 0$ または $x = \frac{30}{\sqrt{3}} = \frac{30\sqrt{3}}{3} = 10\sqrt{3}$

$x=0$ は発射地点なので、地面に落下するまでの水平距離は $10\sqrt{3}$です。したがって、カキ＝10√3。

3. 最終的な答え

* アイ = $\frac{10\sqrt{3}}{3}$

* ウ = $\frac{5}{3}$

* エオ = $\frac{20\sqrt{3}}{3}$

* カキ = $10\sqrt{3}$