問題は、限界代替率（MRS）を計算するものです。具体的には、商品xとyの限界効用（$MU_x$と$MU_y$）の比としてMRSが与えられており、その比を簡略化して$y/x$になることを示すものです。

1. 問題の内容

問題は、限界代替率（MRS）を計算するものです。具体的には、商品xとyの限界効用（$MU_x$と$MU_y$）の比としてMRSが与えられており、その比を簡略化して$y/x$になることを示すものです。

2. 解き方の手順

まず、限界代替率の定義から始めます。

$MRS = \frac{MU_x}{MU_y}$

問題で与えられている$MU_x$と$MU_y$を代入します。

$MRS = \frac{\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}}y^{-\frac{1}{2}}}$

次に、分数を簡略化します。$\frac{1}{2}$は分子と分母の両方にあるので、約分できます。

$MRS = \frac{x^{-\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}y^{-\frac{1}{2}}}$

指数法則を用いて、同じ底の指数の割り算は指数を引き算することを利用します。

$MRS = x^{-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}-(-\frac{1}{2})}$

$MRS = x^{-1}y^{1}$

$MRS = \frac{y}{x}$

3. 最終的な答え

最終的な答えは、

$\frac{y}{x}$