与えられた偏微分方程式は $\frac{\partial^2}{\partial t^2}u(x,t) - C^2 \frac{\partial^2}{\partial x^2}u(x,t) = 0$ である。ここで、$C$ は正の実数である。 (1) $u(x,t) = X(x)T(t)$ のとき、$\frac{\partial^2}{\partial t^2}u(x,t)$ と $\frac{\partial^2}{\partial x^2}u(x,t)$ を計算する。 (2) $\frac{\frac{\partial^2 X(x)}{\partial x^2}}{X(x)} = \lambda$ のとき、$u(x,t)$ の一般解を求める。ここで、$\lambda$ は実数である。

1. 問題の内容

与えられた偏微分方程式は

$\frac{\partial^2}{\partial t^2}u(x,t) - C^2 \frac{\partial^2}{\partial x^2}u(x,t) = 0$

である。ここで、$C$ は正の実数である。

(1) $u(x,t) = X(x)T(t)$ のとき、$\frac{\partial^2}{\partial t^2}u(x,t)$ と $\frac{\partial^2}{\partial x^2}u(x,t)$ を計算する。

(2) $\frac{\frac{\partial^2 X(x)}{\partial x^2}}{X(x)} = \lambda$ のとき、$u(x,t)$ の一般解を求める。ここで、$\lambda$ は実数である。

2. 解き方の手順

(1)

$u(x,t) = X(x)T(t)$ より、

$\frac{\partial u}{\partial t} = X(x) \frac{dT}{dt}$

$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = X(x) \frac{d^2 T}{dt^2} = X(x)T''(t)$

同様に、

$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{dX}{dx} T(t)$

$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = \frac{d^2 X}{dx^2} T(t) = X''(x)T(t)$

(2)

与えられた式は

$\frac{X''(x)}{X(x)} = \lambda$

である。これから

$X''(x) - \lambda X(x) = 0$

となる。

$\lambda$ の値によって場合分けをする。

(i) $\lambda > 0$ のとき、$\lambda = k^2$ ($k>0$) とおくと、

$X''(x) - k^2 X(x) = 0$

この微分方程式の一般解は

$X(x) = A e^{kx} + B e^{-kx}$

または

$X(x) = C \cosh(kx) + D \sinh(kx)$

($A, B, C, D$ は定数)

(ii) $\lambda = 0$ のとき、

$X''(x) = 0$

この微分方程式の一般解は

$X(x) = Ax + B$

($A, B$ は定数)

(iii) $\lambda < 0$ のとき、$\lambda = -k^2$ ($k>0$) とおくと、

$X''(x) + k^2 X(x) = 0$

この微分方程式の一般解は

$X(x) = A \cos(kx) + B \sin(kx)$

($A, B$ は定数)

したがって、

$u(x,t) = X(x)T(t)$ より、$u(x,t)$ の一般解は $\lambda$ の値によって異なり、$X(x)$が上記のように求まる。$T(t)$ はまだ求まっていない。

偏微分方程式に代入することで$T(t)$を求められる。

与えられた偏微分方程式に$u(x,t)=X(x)T(t)$を代入すると、

$X(x)T''(t) - C^2 X''(x)T(t) = 0$

$X(x)T''(t) = C^2 X''(x)T(t)$

$\frac{T''(t)}{C^2T(t)} = \frac{X''(x)}{X(x)} = \lambda$

したがって、$T''(t) = \lambda C^2 T(t)$

(i) $\lambda > 0$ ($=k^2$)のとき、$T''(t) = k^2C^2T(t)$の一般解は$T(t) = Ee^{kCt} + Fe^{-kCt}$となる。

(ii) $\lambda = 0$のとき、$T''(t) = 0$の一般解は$T(t) = Et + F$となる。

(iii) $\lambda < 0$ ($=-k^2$)のとき、$T''(t) = -k^2C^2T(t)$の一般解は$T(t) = Ecos(kCt) + Fsin(kCt)$となる。

3. 最終的な答え

(1)

$\frac{\partial^2}{\partial t^2}u(x,t) = X(x)T''(t)$

$\frac{\partial^2}{\partial x^2}u(x,t) = X''(x)T(t)$

(2)

(i) $\lambda > 0$ のとき、$X(x) = A e^{\sqrt{\lambda}x} + B e^{-\sqrt{\lambda}x}$、$T(t) = Ee^{C\sqrt{\lambda}t} + Fe^{-C\sqrt{\lambda}t}$

$u(x,t) = (A e^{\sqrt{\lambda}x} + B e^{-\sqrt{\lambda}x})(Ee^{C\sqrt{\lambda}t} + Fe^{-C\sqrt{\lambda}t})$

(ii) $\lambda = 0$ のとき、$X(x) = Ax + B$、$T(t) = Et + F$

$u(x,t) = (Ax + B)(Et + F)$

(iii) $\lambda < 0$ のとき、$X(x) = A \cos(\sqrt{-\lambda}x) + B \sin(\sqrt{-\lambda}x)$、$T(t) = E\cos(C\sqrt{-\lambda}t) + F\sin(C\sqrt{-\lambda}t)$

$u(x,t) = (A \cos(\sqrt{-\lambda}x) + B \sin(\sqrt{-\lambda}x))(E\cos(C\sqrt{-\lambda}t) + F\sin(C\sqrt{-\lambda}t))$