白熱電球を点灯したときの温度上昇を表す関数が与えられています。その関数を用いて、3分後(180秒後)、6分後(360秒後)、9分後(540秒後)の容器内部の温度を計算し、グラフにプロットされた実験値と比較します。 与えられている情報は、以下の通りです。 * 周囲の空気温度: $\theta_a = 24.0$ [°C] * 点灯して5分後(300秒後)の容器内温度: $\theta_t = 40.4$ [°C] * $\beta = \frac{K \cdot S}{C} = 0.006$ * 点灯時の温度変化関数: $\theta_t = \theta_a + \frac{R}{K \cdot S} \left(1 - e^{-\frac{K \cdot S}{C}t} \right)$

1. 問題の内容

白熱電球を点灯したときの温度上昇を表す関数が与えられています。その関数を用いて、3分後(180秒後)、6分後(360秒後)、9分後(540秒後)の容器内部の温度を計算し、グラフにプロットされた実験値と比較します。

与えられている情報は、以下の通りです。

* 周囲の空気温度: $\theta_a = 24.0$ [°C]

* 点灯して5分後(300秒後)の容器内温度: $\theta_t = 40.4$ [°C]

* $\beta = \frac{K \cdot S}{C} = 0.006$

* 点灯時の温度変化関数: $\theta_t = \theta_a + \frac{R}{K \cdot S} \left(1 - e^{-\frac{K \cdot S}{C}t} \right)$

2. 解き方の手順

まず、$\frac{R}{K \cdot S}$ の値を求めます。点灯して5分後(300秒後)の温度が40.4°Cであることを利用します。

$\theta_t = \theta_a + \frac{R}{K \cdot S} \left(1 - e^{-\beta t} \right)$

$40.4 = 24.0 + \frac{R}{K \cdot S} \left(1 - e^{-0.006 \cdot 300} \right)$

$16.4 = \frac{R}{K \cdot S} \left(1 - e^{-1.8} \right)$

$\frac{R}{K \cdot S} = \frac{16.4}{1 - e^{-1.8}} = \frac{16.4}{1 - 0.1653} = \frac{16.4}{0.8347} \approx 19.65$

次に、3分後(180秒後)、6分後(360秒後)、9分後(540秒後)の温度を計算します。

3分後(180秒後):

$\theta_{180} = 24.0 + 19.65 \left(1 - e^{-0.006 \cdot 180} \right) = 24.0 + 19.65 \left(1 - e^{-1.08} \right) = 24.0 + 19.65 \left(1 - 0.3396 \right) = 24.0 + 19.65 \cdot 0.6604 \approx 24.0 + 12.97 \approx 36.97$ [°C]

6分後(360秒後):

$\theta_{360} = 24.0 + 19.65 \left(1 - e^{-0.006 \cdot 360} \right) = 24.0 + 19.65 \left(1 - e^{-2.16} \right) = 24.0 + 19.65 \left(1 - 0.1151 \right) = 24.0 + 19.65 \cdot 0.8849 \approx 24.0 + 17.39 \approx 41.39$ [°C]

9分後(540秒後):

$\theta_{540} = 24.0 + 19.65 \left(1 - e^{-0.006 \cdot 540} \right) = 24.0 + 19.65 \left(1 - e^{-3.24} \right) = 24.0 + 19.65 \left(1 - 0.0392 \right) = 24.0 + 19.65 \cdot 0.9608 \approx 24.0 + 18.88 \approx 42.88$ [°C]

3. 最終的な答え

| 経過時間[s] | 内部温度 計算値[°C] | 内部温度 実験値[°C] |

|---|---|---|

| 180 | 36.97 | |

| 360 | 41.39 | |

| 540 | 42.88 | |

グラフから読み取ると、実験値は以下のようになります（概算）。

| 経過時間[s] | 内部温度 計算値[°C] | 内部温度 実験値[°C] |

|---|---|---|

| 180 | 36.97 | 36 |

| 360 | 41.39 | 41 |

| 540 | 42.88 | 43 |