単振動する質点の位置 $x(t)$ が３通りの形で与えられている。 一般解は、 $x(t) = C_1 \sin(\omega t) + C_2 \cos(\omega t)$ $x(t) = A \cos(\omega t + \alpha)$ $x(t) = B \sin(\omega t + \beta)$ ここで、$t=0$ における初期条件、(1) $x(0)=x_0, v(0)=0$、 (2) $x(0)=0, v(0)=v_0$ の下で、それぞれの一般解を求め、３つの解が一致することを確かめる。

1. 問題の内容

単振動する質点の位置 $x(t)$ が３通りの形で与えられている。

一般解は、

$x(t) = C_1 \sin(\omega t) + C_2 \cos(\omega t)$

$x(t) = A \cos(\omega t + \alpha)$

$x(t) = B \sin(\omega t + \beta)$

ここで、$t=0$ における初期条件、(1) $x(0)=x_0, v(0)=0$、 (2) $x(0)=0, v(0)=v_0$ の下で、それぞれの一般解を求め、３つの解が一致することを確かめる。

2. 解き方の手順

(1) $x(0)=x_0, v(0)=0$ のとき

* 解1: $x(t) = C_1 \sin(\omega t) + C_2 \cos(\omega t)$

$x(0) = C_1 \sin(0) + C_2 \cos(0) = C_2 = x_0$

$v(t) = \frac{dx}{dt} = C_1 \omega \cos(\omega t) - C_2 \omega \sin(\omega t)$

$v(0) = C_1 \omega \cos(0) - C_2 \omega \sin(0) = C_1 \omega = 0$

よって、$C_1 = 0$

したがって、 $x(t) = x_0 \cos(\omega t)$

* 解2: $x(t) = A \cos(\omega t + \alpha)$

$x(0) = A \cos(\alpha) = x_0$

$v(t) = -A \omega \sin(\omega t + \alpha)$

$v(0) = -A \omega \sin(\alpha) = 0$

よって、$\sin(\alpha) = 0$ より $\alpha = 0$

したがって、$A = x_0$

$x(t) = x_0 \cos(\omega t)$

* 解3: $x(t) = B \sin(\omega t + \beta)$

$x(0) = B \sin(\beta) = x_0$

$v(t) = B \omega \cos(\omega t + \beta)$

$v(0) = B \omega \cos(\beta) = 0$

よって、$\cos(\beta) = 0$ より $\beta = \frac{\pi}{2}$

したがって、$B = x_0$

$x(t) = x_0 \sin(\omega t + \frac{\pi}{2}) = x_0 \cos(\omega t)$

以上より、３つの解はすべて $x(t) = x_0 \cos(\omega t)$ と一致する。

(2) $x(0)=0, v(0)=v_0$ のとき

* 解1: $x(t) = C_1 \sin(\omega t) + C_2 \cos(\omega t)$

$x(0) = C_1 \sin(0) + C_2 \cos(0) = C_2 = 0$

$v(t) = C_1 \omega \cos(\omega t) - C_2 \omega \sin(\omega t)$

$v(0) = C_1 \omega \cos(0) - C_2 \omega \sin(0) = C_1 \omega = v_0$

よって、$C_1 = \frac{v_0}{\omega}$

したがって、 $x(t) = \frac{v_0}{\omega} \sin(\omega t)$

* 解2: $x(t) = A \cos(\omega t + \alpha)$

$x(0) = A \cos(\alpha) = 0$

$v(t) = -A \omega \sin(\omega t + \alpha)$

$v(0) = -A \omega \sin(\alpha) = v_0$

$\cos(\alpha) = 0$ より $\alpha = \frac{\pi}{2}$ または $\alpha = -\frac{\pi}{2}$

$\alpha = \frac{\pi}{2}$ のとき、$v_0 = -A \omega \sin(\frac{\pi}{2}) = -A \omega$ より $A = -\frac{v_0}{\omega}$

$x(t) = -\frac{v_0}{\omega} \cos(\omega t + \frac{\pi}{2}) = \frac{v_0}{\omega} \sin(\omega t)$

$\alpha = -\frac{\pi}{2}$ のとき、$v_0 = -A \omega \sin(-\frac{\pi}{2}) = A \omega$ より $A = \frac{v_0}{\omega}$

$x(t) = \frac{v_0}{\omega} \cos(\omega t - \frac{\pi}{2}) = \frac{v_0}{\omega} \sin(\omega t)$

* 解3: $x(t) = B \sin(\omega t + \beta)$

$x(0) = B \sin(\beta) = 0$

$v(t) = B \omega \cos(\omega t + \beta)$

$v(0) = B \omega \cos(\beta) = v_0$

$\sin(\beta) = 0$ より $\beta = 0$ または $\beta = \pi$

$\beta = 0$ のとき、$B \omega \cos(0) = B \omega = v_0$ より $B = \frac{v_0}{\omega}$

$x(t) = \frac{v_0}{\omega} \sin(\omega t)$

$\beta = \pi$ のとき、$B \omega \cos(\pi) = -B \omega = v_0$ より $B = -\frac{v_0}{\omega}$

$x(t) = -\frac{v_0}{\omega} \sin(\omega t + \pi) = \frac{v_0}{\omega} \sin(\omega t)$

以上より、３つの解はすべて $x(t) = \frac{v_0}{\omega} \sin(\omega t)$ と一致する。

3. 最終的な答え

(1) $x(0)=x_0, v(0)=0$ のとき、$x(t) = x_0 \cos(\omega t)$

(2) $x(0)=0, v(0)=v_0$ のとき、$x(t) = \frac{v_0}{\omega} \sin(\omega t)$