高さ$H$の地点から質量$m$のボールを水平方向に初速$V$で投げたときの、ボールの運動について考える問題です。具体的には、ボールの加速度の$x$成分と$z$成分を求め、運動方程式を書き、初期条件を与えられた上で、時刻$t$におけるボールの速度の$x$成分$v_x(t)$と$x$座標$x(t)$を求めることが求められています。

1. 問題の内容

高さ$H$の地点から質量$m$のボールを水平方向に初速$V$で投げたときの、ボールの運動について考える問題です。具体的には、ボールの加速度の$x$成分と$z$成分を求め、運動方程式を書き、初期条件を与えられた上で、時刻$t$におけるボールの速度の$x$成分$v_x(t)$と$x$座標$x(t)$を求めることが求められています。

2. 解き方の手順

(1)

* ボールの加速度の$x$成分$a_x$と$z$成分$a_z$を求めます。

* $x$軸方向には力が働かないので、$a_x = 0$ [m/s$^2$]です。

* $z$軸方向には重力が働くので、$a_z = -g$ [m/s$^2$]です。

* ボールに対する$x$方向と$z$方向の運動方程式は以下のようになります。

* $x$方向：$m a_x = 0$

* $z$方向：$m a_z = -mg$

(2)

* ボールの初速度$\vec{v}(0)$と初期位置$\vec{r}(0)$を$\vec{i}$と$\vec{k}$を用いて表します。

* 初速度$\vec{v}(0)$は$x$方向に$V$なので、$\vec{v}(0) = V\vec{i}$ [m/s]です。

* 初期位置$\vec{r}(0)$は高さ$H$の地点なので、$\vec{r}(0) = H\vec{k}$ [m]です。

(3)

* 運動方程式の$x$方向の式から、時刻$t$でのボールの速度の$x$成分$v_x(t)$と$x$座標$x(t)$を求めます。

* まず、加速度の$x$成分$a_x$を求めます。(1)より、$a_x = 0$ [m/s$^2$]です。

* $a_x$と$v_x(t)$の関係を考慮すると、$a_x = 0$は$v_x(t)$が変化しないことを意味します。初期条件（(2)参照）より、$v_x(0) = V$なので、$v_x(t) = V$ [m/s]です。問題文より$V = 20$ [m/s]なので、$v_x(t) = 20$ [m/s]となります。

* $v_x(t)$と$x(t)$の関係を考慮すると、$v_x(t) = 20$ [m/s]はボールの$x$座標が常に20 m/sで変化していることを意味します。初期条件より、$x(0) = 0$なので、時刻$t$での$x$座標は$x(t) = V t = 20t$ [m]です。

3. 最終的な答え

(1)

* $a_x = 0$ [m/s$^2$]

* $a_z = -g$ [m/s$^2$]

* $x$方向：$m a_x = 0$

* $z$方向：$m a_z = -mg$

(2)

* $\vec{v}(0) = V\vec{i}$ [m/s]

* $\vec{r}(0) = H\vec{k}$ [m]

(3)

* $a_x = 0$ [m/s$^2$]

* $v_x(t) = 20$ [m/s]

* $x(t) = 20t$ [m]