右図のように配管された円管において、A点における圧力 $p_A = 450$ kPa、流速 $u_A = 3.84$ m/sで水が送られている。A点の配管の直径は $d_A = 100$ mmであり、B点はA点より12 m高い位置にあり、配管の直径は $d_B = 80$ mmである。水の密度は $\rho = 1000$ kg/m$^3$、重力加速度は $g = 9.8$ m/s$^2$とする。以下の問いに答えよ。 (1) B点での流速 $u_B$ を連続の式から求めよ。 (2) B点での圧力 $p_B$ をベルヌーイの定理から求めよ。

1. 問題の内容

右図のように配管された円管において、A点における圧力 $p_A = 450$ kPa、流速 $u_A = 3.84$ m/sで水が送られている。A点の配管の直径は $d_A = 100$ mmであり、B点はA点より12 m高い位置にあり、配管の直径は $d_B = 80$ mmである。水の密度は $\rho = 1000$ kg/m$^3$、重力加速度は $g = 9.8$ m/s$^2$とする。以下の問いに答えよ。

(1) B点での流速 $u_B$ を連続の式から求めよ。

(2) B点での圧力 $p_B$ をベルヌーイの定理から求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 連続の式より、断面積 $A$ と流速 $u$ の積は一定である。すなわち、

$A_A u_A = A_B u_B$

断面積は直径 $d$ を用いて $A = \pi (d/2)^2 = \frac{\pi}{4} d^2$ と表せるので、

$\frac{\pi}{4} d_A^2 u_A = \frac{\pi}{4} d_B^2 u_B$

$d_A^2 u_A = d_B^2 u_B$

したがって、

$u_B = \frac{d_A^2}{d_B^2} u_A$

与えられた数値を代入すると、

$u_B = \frac{(100\text{ mm})^2}{(80\text{ mm})^2} \times 3.84\text{ m/s} = \frac{10000}{6400} \times 3.84\text{ m/s} = \frac{25}{16} \times 3.84\text{ m/s} = 1.5625 \times 3.84 \text{ m/s} = 6.00 \text{ m/s}$

(2) ベルヌーイの定理より、

$p_A + \frac{1}{2} \rho u_A^2 + \rho g h_A = p_B + \frac{1}{2} \rho u_B^2 + \rho g h_B$

ここで、$h_A = 0$ m、$h_B = 12$ mとする。

$p_B = p_A + \frac{1}{2} \rho (u_A^2 - u_B^2) + \rho g (h_A - h_B)$

$p_B = p_A + \frac{1}{2} \rho (u_A^2 - u_B^2) - \rho g h_B$

与えられた数値を代入すると、

$p_B = 450 \times 10^3 \text{ Pa} + \frac{1}{2} \times 1000 \text{ kg/m}^3 \times ((3.84 \text{ m/s})^2 - (6.00 \text{ m/s})^2) - 1000 \text{ kg/m}^3 \times 9.8 \text{ m/s}^2 \times 12 \text{ m}$

$p_B = 450000 \text{ Pa} + 500 (14.7456 - 36) \text{ Pa} - 117600 \text{ Pa}$

$p_B = 450000 \text{ Pa} - 500 \times 21.2544 \text{ Pa} - 117600 \text{ Pa}$

$p_B = 450000 \text{ Pa} - 10627.2 \text{ Pa} - 117600 \text{ Pa}$

$p_B = 321772.8 \text{ Pa} \approx 321.8 \text{ kPa}$

3. 最終的な答え

(1) B点での流速 $u_B = 6.00$ m/s

(2) B点での圧力 $p_B = 321.8$ kPa