右図のような水系配管において、空気が $v_2 = 25 \text{ m/s}$ の速度で出口②から外部へ吹き出している。中央の縮小管の下部には細管が取り付けられており、容器から水を $H = 200 \text{ mm}$ だけ吸い上げている。断面①の管径 $d$ と出口の断面②の管径 $D$ の比 $D/d$ を求める問題である。ただし、容器の周囲の圧力は大気圧 $p_0$ とし、出口の断面②の圧力も大気圧に等しい($p_2 = p_0$)とする。空気は非圧縮性流体であり定常流れとして扱う。 (1) 断面①と②の間の連続の式を求める。ただし断面①での流速を $v_1$ とする。 (2) 断面①と②の間のベルヌーイの式を求める。ただし断面①での圧力を $p_1$ とする。また、空気の密度を $\rho_a$ とする。 (3) 上の連続の式をベルヌーイの式に代入し、$p_0 - p_1$ について $v_2$ を用いて途中の経過も併せて示す。

1. 問題の内容

右図のような水系配管において、空気が $v_2 = 25 \text{ m/s}$ の速度で出口②から外部へ吹き出している。中央の縮小管の下部には細管が取り付けられており、容器から水を $H = 200 \text{ mm}$ だけ吸い上げている。断面①の管径 $d$ と出口の断面②の管径 $D$ の比 $D/d$ を求める問題である。ただし、容器の周囲の圧力は大気圧 $p_0$ とし、出口の断面②の圧力も大気圧に等しい($p_2 = p_0$)とする。空気は非圧縮性流体であり定常流れとして扱う。

(1) 断面①と②の間の連続の式を求める。ただし断面①での流速を $v_1$ とする。

(2) 断面①と②の間のベルヌーイの式を求める。ただし断面①での圧力を $p_1$ とする。また、空気の密度を $\rho_a$ とする。

(3) 上の連続の式をベルヌーイの式に代入し、$p_0 - p_1$ について $v_2$ を用いて途中の経過も併せて示す。

2. 解き方の手順

(1) 連続の式

非圧縮性流体なので、体積流量は一定である。したがって、断面①と断面②において、

$A_1 v_1 = A_2 v_2$

ここで、$A_1$ は断面①の面積、$A_2$ は断面②の面積である。

$A_1 = \pi (d/2)^2 = \frac{\pi d^2}{4}$

$A_2 = \pi (D/2)^2 = \frac{\pi D^2}{4}$

したがって、連続の式は、

$\frac{\pi d^2}{4} v_1 = \frac{\pi D^2}{4} v_2$

$d^2 v_1 = D^2 v_2$

(2) ベルヌーイの式

断面①と断面②の間でベルヌーイの式を適用する。

$p_1 + \frac{1}{2} \rho_a v_1^2 = p_2 + \frac{1}{2} \rho_a v_2^2$

ここで、$p_1$ は断面①の圧力、$v_1$ は断面①の流速、$p_2$ は断面②の圧力、$v_2$ は断面②の流速、$\rho_a$ は空気の密度である。

問題文より、$p_2 = p_0$ なので、

$p_1 + \frac{1}{2} \rho_a v_1^2 = p_0 + \frac{1}{2} \rho_a v_2^2$

(3) $p_0 - p_1$ について

連続の式より、$v_1 = \frac{D^2}{d^2} v_2$ である。これをベルヌーイの式に代入する。

$p_1 + \frac{1}{2} \rho_a \left( \frac{D^2}{d^2} v_2 \right)^2 = p_0 + \frac{1}{2} \rho_a v_2^2$

$p_0 - p_1 = \frac{1}{2} \rho_a \left( \frac{D^4}{d^4} v_2^2 - v_2^2 \right) = \frac{1}{2} \rho_a v_2^2 \left( \frac{D^4}{d^4} - 1 \right)$

3. 最終的な答え

(1) $d^2 v_1 = D^2 v_2$

(2) $p_1 + \frac{1}{2} \rho_a v_1^2 = p_0 + \frac{1}{2} \rho_a v_2^2$

(3) $p_0 - p_1 = \frac{1}{2} \rho_a v_2^2 \left( \frac{D^4}{d^4} - 1 \right)$