無限に長い直線状の導線に電流 $I$ [A] が流れているとき、導線上の点を中心とする半径 $r$ [m] の位置での磁界を求める。

1. 問題の内容

無限に長い直線状の導線に電流 $I$ [A] が流れているとき、導線上の点を中心とする半径 $r$ [m] の位置での磁界を求める。

2. 解き方の手順

アンペールの法則を用いる。

アンペールの法則は、閉曲線 $C$ に沿った磁界 $\vec{H}$ の線積分が、その閉曲線 $C$ を貫く電流 $I$ に等しいというものである。

$\oint \vec{H} \cdot d\vec{l} = I$

無限長直線電流の場合、磁界は導線を中心とする同心円状になるので、積分路として半径 $r$ の円をとる。

磁界 $\vec{H}$ は積分路上で一定の大きさであり、積分路の微小長さベクトル $d\vec{l}$ と平行であるから、

$\oint \vec{H} \cdot d\vec{l} = \oint H dl = H \oint dl = H (2\pi r)$

したがって、アンペールの法則は

$H(2\pi r) = I$

となり、磁界の大きさ $H$ は

$H = \frac{I}{2\pi r}$

3. 最終的な答え

$H = \frac{I}{2\pi r}$