初速度 $v_0$ [m/s]、質量 $m$ [kg] の物体が、水平面上で摩擦を受けながら運動する。この物体が静止するまでに移動する距離 $\delta x$ [m] を求める。重力加速度は $g$ [m/s$^2$]、動摩擦係数は $\mu'$ とする。

## Q4の解答

1. 問題の内容

初速度 $v_0$ [m/s]、質量 $m$ [kg] の物体が、水平面上で摩擦を受けながら運動する。この物体が静止するまでに移動する距離 $\delta x$ [m] を求める。重力加速度は $g$ [m/s$^2$]、動摩擦係数は $\mu'$ とする。

2. 解き方の手順

まず、運動方程式を立てる。摩擦力は $F = \mu' mg$ であり、運動を妨げる方向に働く。したがって、運動方程式は以下のようになる。

$m a = -\mu' mg$

これより、加速度 $a$ は $a = -\mu' g$ となる。

次に、等加速度運動の公式を用いて、静止するまでの距離を求める。初速度 $v_0$、加速度 $a = -\mu' g$、最終速度 $v = 0$ のとき、以下の公式が成り立つ。

$v^2 - v_0^2 = 2 a \delta x$

これに値を代入すると、

$0^2 - v_0^2 = 2 (-\mu' g) \delta x$

$\delta x = \frac{v_0^2}{2 \mu' g}$

3. 最終的な答え

$\frac{v_0^2}{2\mu'g}$

## Q5の解答

1. 問題の内容

ある時刻 $t$ [s] の物体の位置が $x = v_0 t \sin \omega t$ [m], $y = v_0 t \cos \omega t$ [m], $z = v_0 t$ [m] で与えられるとき、速さ [m/s] を求める。ただし、$v_0, \omega$ は正の定数とする。

2. 解き方の手順

まず、速度ベクトルを求めるために、各座標成分を時間で微分する。

$v_x = \frac{dx}{dt} = v_0 \sin \omega t + v_0 t \omega \cos \omega t$

$v_y = \frac{dy}{dt} = v_0 \cos \omega t - v_0 t \omega \sin \omega t$

$v_z = \frac{dz}{dt} = v_0$

次に、速さを求めるために、速度ベクトルの絶対値を計算する。

$|v| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2 + v_z^2}$

$|v| = \sqrt{(v_0 \sin \omega t + v_0 t \omega \cos \omega t)^2 + (v_0 \cos \omega t - v_0 t \omega \sin \omega t)^2 + v_0^2}$

展開して整理すると、

$|v| = \sqrt{v_0^2 \sin^2 \omega t + 2 v_0^2 t \omega \sin \omega t \cos \omega t + v_0^2 t^2 \omega^2 \cos^2 \omega t + v_0^2 \cos^2 \omega t - 2 v_0^2 t \omega \sin \omega t \cos \omega t + v_0^2 t^2 \omega^2 \sin^2 \omega t + v_0^2}$

$|v| = \sqrt{v_0^2 (\sin^2 \omega t + \cos^2 \omega t) + v_0^2 t^2 \omega^2 (\cos^2 \omega t + \sin^2 \omega t) + v_0^2}$

$\sin^2 \omega t + \cos^2 \omega t = 1$より

$|v| = \sqrt{v_0^2 + v_0^2 t^2 \omega^2 + v_0^2} = \sqrt{2 v_0^2 + v_0^2 \omega^2 t^2} = v_0 \sqrt{2 + \omega^2 t^2}$

3. 最終的な答え

$v_0 \sqrt{2 + \omega^2 t^2}$

## Q6の解答

1. 問題の内容

ある物体の加速度 $a$ [m/s$^2$] が、時刻 $t$ [s] の関数として与えられている。$t = 0$ [s] のときの速度は $v(0) = 0$ [m/s]、位置は $x(0) = -4$ [m] とする。$t = 7$ [s] のときの位置 $x(7)$ [m] を求める。

$a(t) = \begin{cases} 0 & (0 \le t < 1) \\ 2 & (1 \le t < 2) \\ 0 & (2 \le t < 4) \\ -1 & (4 \le t) \end{cases}$

2. 解き方の手順

各時間区間における速度 $v(t)$ と位置 $x(t)$ を計算する。

* $0 \le t < 1$: $a(t) = 0$

$v(t) = v(0) + \int_0^t a(\tau) d\tau = 0 + \int_0^t 0 d\tau = 0$

$x(t) = x(0) + \int_0^t v(\tau) d\tau = -4 + \int_0^t 0 d\tau = -4$

* $1 \le t < 2$: $a(t) = 2$

$v(1) = 0$

$v(t) = v(1) + \int_1^t a(\tau) d\tau = 0 + \int_1^t 2 d\tau = 2(t - 1)$

$x(1) = -4$

$x(t) = x(1) + \int_1^t v(\tau) d\tau = -4 + \int_1^t 2(\tau - 1) d\tau = -4 + [(\tau - 1)^2]_1^t = -4 + (t - 1)^2$

* $2 \le t < 4$: $a(t) = 0$

$v(2) = 2(2 - 1) = 2$

$v(t) = v(2) + \int_2^t a(\tau) d\tau = 2 + \int_2^t 0 d\tau = 2$

$x(2) = -4 + (2 - 1)^2 = -3$

$x(t) = x(2) + \int_2^t v(\tau) d\tau = -3 + \int_2^t 2 d\tau = -3 + 2(t - 2) = 2t - 7$

* $4 \le t \le 7$: $a(t) = -1$

$v(4) = 2$

$v(t) = v(4) + \int_4^t a(\tau) d\tau = 2 + \int_4^t (-1) d\tau = 2 - (t - 4) = 6 - t$

$x(4) = 2(4) - 7 = 1$

$x(t) = x(4) + \int_4^t v(\tau) d\tau = 1 + \int_4^t (6 - \tau) d\tau = 1 + [6\tau - \frac{1}{2} \tau^2]_4^t = 1 + (6t - \frac{1}{2}t^2) - (24 - 8) = 1 + 6t - \frac{1}{2}t^2 - 16 = -\frac{1}{2}t^2 + 6t - 15$

$t = 7$ のとき、

$x(7) = -\frac{1}{2}(7^2) + 6(7) - 15 = -\frac{49}{2} + 42 - 15 = 27 - \frac{49}{2} = \frac{54 - 49}{2} = \frac{5}{2} = 2.5$

3. 最終的な答え

2.5