質量 $m$ の小物体を、地面から初速度 $v_0$、水平面からの角度 $\theta$ で斜め上に投げた。水平方向を $x$ 軸、鉛直上向きを $y$ 軸とし、投げた時刻を $0$、投げた位置を原点とする。重力加速度を $g$ として、以下の問いに答えよ。 (1) 初速度の水平成分 $v_{0x}$ を求めよ。 (2) 初速度の鉛直成分 $v_{0y}$ を求めよ。 (3) 投げてから $t$ 秒後の速度の $x$ 成分 $v_x$ を求めよ。 (4) 投げてから $t$ 秒後の速度の $y$ 成分 $v_y$ を求めよ。 (5) 投げてから $t$ 秒後の小物体の位置 $(x, y)$ を求めよ。 (6) 最高点に達する時間を求め、その時の速度の $x$ 成分と $y$ 成分を求めよ。 (7) 投げた位置から最高点までの水平距離と高さを求めよ。 (8) 投げてから再び地面に達するまでの時間と、その時の水平距離を求めよ。

1. 問題の内容

質量 $m$ の小物体を、地面から初速度 $v_0$、水平面からの角度 $\theta$ で斜め上に投げた。水平方向を $x$ 軸、鉛直上向きを $y$ 軸とし、投げた時刻を $0$、投げた位置を原点とする。重力加速度を $g$ として、以下の問いに答えよ。

(1) 初速度の水平成分 $v_{0x}$ を求めよ。

(2) 初速度の鉛直成分 $v_{0y}$ を求めよ。

(3) 投げてから $t$ 秒後の速度の $x$ 成分 $v_x$ を求めよ。

(4) 投げてから $t$ 秒後の速度の $y$ 成分 $v_y$ を求めよ。

(5) 投げてから $t$ 秒後の小物体の位置 $(x, y)$ を求めよ。

(6) 最高点に達する時間を求め、その時の速度の $x$ 成分と $y$ 成分を求めよ。

(7) 投げた位置から最高点までの水平距離と高さを求めよ。

(8) 投げてから再び地面に達するまでの時間と、その時の水平距離を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 初速度の水平成分 $v_{0x}$ は、初速度 $v_0$ を $x$ 軸に射影したものであるから、

$v_{0x} = v_0 \cos\theta$

(2) 初速度の鉛直成分 $v_{0y}$ は、初速度 $v_0$ を $y$ 軸に射影したものであるから、

$v_{0y} = v_0 \sin\theta$

(3) 水平方向には力が働かないので、速度は一定である。したがって、

$v_x = v_{0x} = v_0 \cos\theta$

(4) 鉛直方向には重力加速度 $-g$ が働くので、

$v_y = v_{0y} - gt = v_0 \sin\theta - gt$

(5) 水平方向の運動は等速運動なので、

$x = v_{0x}t = v_0 \cos\theta \cdot t$

鉛直方向の運動は等加速度運動なので、

$y = v_{0y}t - \frac{1}{2}gt^2 = v_0 \sin\theta \cdot t - \frac{1}{2}gt^2$

(6) 最高点では $v_y = 0$ となるので、

$0 = v_0 \sin\theta - gt_{top}$

$t_{top} = \frac{v_0 \sin\theta}{g}$

このときの $x$ 成分は $v_x = v_0 \cos\theta$ であり、$y$ 成分は $v_y=0$である。

(7) 最高点までの水平距離は、

$x_{top} = v_0 \cos\theta \cdot t_{top} = v_0 \cos\theta \cdot \frac{v_0 \sin\theta}{g} = \frac{v_0^2 \sin\theta \cos\theta}{g} = \frac{v_0^2 \sin(2\theta)}{2g}$

最高点の高さは、

$y_{top} = v_0 \sin\theta \cdot t_{top} - \frac{1}{2}g t_{top}^2 = v_0 \sin\theta \cdot \frac{v_0 \sin\theta}{g} - \frac{1}{2}g \left(\frac{v_0 \sin\theta}{g}\right)^2 = \frac{v_0^2 \sin^2\theta}{g} - \frac{1}{2} \frac{v_0^2 \sin^2\theta}{g} = \frac{v_0^2 \sin^2\theta}{2g}$

(8) 再び地面に達するまでの時間は、$y = 0$ となる $t$ を求める。

$0 = v_0 \sin\theta \cdot t - \frac{1}{2}gt^2 = t(v_0 \sin\theta - \frac{1}{2}gt)$

$t = 0$ または $v_0 \sin\theta - \frac{1}{2}gt = 0$ より、 $t = \frac{2v_0 \sin\theta}{g}$

$t = 0$ は初期状態なので、$t = \frac{2v_0 \sin\theta}{g}$ が求める時間である。

そのときの水平距離は、

$x = v_0 \cos\theta \cdot \frac{2v_0 \sin\theta}{g} = \frac{2v_0^2 \sin\theta \cos\theta}{g} = \frac{v_0^2 \sin(2\theta)}{g}$

3. 最終的な答え

(1) $v_{0x} = v_0 \cos\theta$

(2) $v_{0y} = v_0 \sin\theta$

(3) $v_x = v_0 \cos\theta$

(4) $v_y = v_0 \sin\theta - gt$

(5) $x = v_0 \cos\theta \cdot t$, $y = v_0 \sin\theta \cdot t - \frac{1}{2}gt^2$

(6) $t_{top} = \frac{v_0 \sin\theta}{g}$, $v_x = v_0 \cos\theta$, $v_y = 0$

(7) $x_{top} = \frac{v_0^2 \sin(2\theta)}{2g}$, $y_{top} = \frac{v_0^2 \sin^2\theta}{2g}$

(8) $t = \frac{2v_0 \sin\theta}{g}$, $x = \frac{v_0^2 \sin(2\theta)}{g}$