バネ定数 $k_1$, $k_2$ の2つのバネを直列に接続し、質量 $m$ の物体を取り付け、摩擦のない水平な床に置く。直列バネのもう一方の端は壁に固定されている。バネが伸び縮みしていない状態を $x=0$ とする。物体を $x=a > 0$ だけ変位させてから手を離したとき、 (1) 合成バネ定数を求める。 (2) 物体の位置 $x(t)$ の式を求める。 (3) 物体の最大の速度を求める。 (4) 物体の最小の速さを求める。

1. 問題の内容

バネ定数 $k_1$, $k_2$ の2つのバネを直列に接続し、質量 $m$ の物体を取り付け、摩擦のない水平な床に置く。直列バネのもう一方の端は壁に固定されている。バネが伸び縮みしていない状態を $x=0$ とする。物体を $x=a > 0$ だけ変位させてから手を離したとき、

(1) 合成バネ定数を求める。

(2) 物体の位置 $x(t)$ の式を求める。

(3) 物体の最大の速度を求める。

(4) 物体の最小の速さを求める。

2. 解き方の手順

(1) 直列バネの合成バネ定数 $k$ は、

$\frac{1}{k} = \frac{1}{k_1} + \frac{1}{k_2}$

$k = \frac{k_1 k_2}{k_1 + k_2}$

したがって、4番の選択肢が正しい。

(2) 単振動の運動方程式は、

$m\frac{d^2x}{dt^2} = -kx$

$\frac{d^2x}{dt^2} = -\frac{k}{m}x$

$\omega^2 = \frac{k}{m} = \frac{k_1 k_2}{m(k_1+k_2)}$

$\omega = \sqrt{\frac{k_1 k_2}{m(k_1+k_2)}}$

初期条件は $t=0$ で $x=a$ であり、速度は0である。

よって、

$x(t) = a \cos(\omega t) = a \cos \left( t \sqrt{\frac{k_1 k_2}{m(k_1+k_2)}} \right)$

したがって、1番の選択肢が正しい。

(3) 速度は

$v(t) = \frac{dx}{dt} = -a\omega \sin(\omega t)$

最大の速度は

$v_{max} = a\omega = - a \sqrt{\frac{k_1 k_2}{m(k_1 + k_2)}}$ (速度の向きを考慮)

速さの最大値は

$|v_{max}| = a \sqrt{\frac{k_1 k_2}{m(k_1 + k_2)}}$

したがって、7番の選択肢が正しい。

(4) 速さの最小値は0。物体が平衡点 ($x=0$) を通過する際に速度が最大になり、変位が最大の点 ($x=a$) で速度が0になるため。

3. 最終的な答え

(1) 4

(2) 1

(3) 7

(4) 4