斜面に沿った物体の運動方程式を考える。斜面下向きを正とすると、 $$ma = mg\sin\theta - \mu' mg\cos\theta$$ よって、加速度 $a$ は $$a = g(\sin\theta - \mu'\cos\theta)$$

## 問題の要約

傾斜角 $\theta$ の斜面上の高さ $h$ の地点から、質量 $m$ の物体が初速 $v_0$ で斜面に沿って滑り始めた。物体と斜面の動摩擦係数を $\mu'$ とし、重力加速度を $g$ とする。物体が斜面を滑りきるまでの時間を求める。

## 解き方の手順

1. **加速度の導出:**

斜面に沿った物体の運動方程式を考える。斜面下向きを正とすると、

$$ma = mg\sin\theta - \mu' mg\cos\theta$$

よって、加速度 $a$ は

$$a = g(\sin\theta - \mu'\cos\theta)$$

2. **斜面を滑る距離の導出:**

高さ $h$ の斜面を滑る距離 $l$ は、

$$l = \frac{h}{\sin\theta}$$

3. **等加速度運動の公式:**

初期位置を0とし、等加速度運動の公式を用いる。

$$l = v_0t + \frac{1}{2}at^2$$

ここに$l = \frac{h}{\sin\theta}$と$a = g(\sin\theta - \mu'\cos\theta)$を代入する。

$$\frac{h}{\sin\theta} = v_0t + \frac{1}{2}g(\sin\theta - \mu'\cos\theta)t^2$$

変形して、$t$についての二次方程式を得る。

$$\frac{1}{2}g(\sin\theta - \mu'\cos\theta)t^2 + v_0t - \frac{h}{\sin\theta} = 0$$

$$g(\sin\theta - \mu'\cos\theta)t^2 + 2v_0t - \frac{2h}{\sin\theta} = 0$$

4. **二次方程式を解く:**

$at^2 + bt + c = 0$という二次方程式の解は、$t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$で与えられる。

今回、$a = g(\sin\theta - \mu'\cos\theta)$, $b = 2v_0$, $c = -\frac{2h}{\sin\theta}$ なので、

$$t = \frac{-2v_0 \pm \sqrt{4v_0^2 - 4g(\sin\theta - \mu'\cos\theta)(-\frac{2h}{\sin\theta})}}{2g(\sin\theta - \mu'\cos\theta)}$$

$$t = \frac{-2v_0 \pm \sqrt{4v_0^2 + \frac{8gh(\sin\theta - \mu'\cos\theta)}{\sin\theta}}}{2g(\sin\theta - \mu'\cos\theta)}$$

$$t = \frac{-v_0 \pm \sqrt{v_0^2 + \frac{2gh(\sin\theta - \mu'\cos\theta)}{\sin\theta}}}{g(\sin\theta - \mu'\cos\theta)}$$

$$t = \frac{-v_0 \pm \sqrt{v_0^2 + \frac{2gh(\sin\theta - \mu'\cos\theta)}{\sin\theta}}}{g(\sin\theta - \mu'\cos\theta)}$$

時間$t$は正である必要があるので、プラスの符号を取る。

$$t = \frac{-v_0 + \sqrt{v_0^2 + \frac{2gh(\sin\theta - \mu'\cos\theta)}{\sin\theta}}}{g(\sin\theta - \mu'\cos\theta)}$$

## 最終的な答え

$$t = \frac{-v_0 + \sqrt{v_0^2 + \frac{2gh(\sin\theta - \mu'\cos\theta)}{\sin\theta}}}{g(\sin\theta - \mu'\cos\theta)}$$

選択肢に合うように式変形すると

$$t = \frac{-v_0 + \sqrt{v_0^2 + \frac{2gh(\sin\theta - \mu'\cos\theta)}{\sin\theta}}}{g(\sin\theta - \mu'\cos\theta)} = \frac{-v_0 + \sqrt{v_0^2 + \frac{2gh(\sin^2\theta - \mu'\cos\theta\sin\theta)}{\sin^2\theta}}}{g(\sin\theta - \mu'\cos\theta)} = \frac{-v_0 + \sqrt{v_0^2 + \frac{2gh(\sin\theta - \mu'\cos\theta)}{\sin\theta}}}{\sin\theta \frac{g(\sin\theta - \mu'\cos\theta)}{\sin\theta}}$$

3番の選択肢が最も近い形である。

$$t = \frac{-v_0 + \sqrt{v_0^2 + \frac{2gh(\sin\theta - \mu'\cos\theta)}{\sin\theta}}}{g(\sin\theta - \mu'\cos\theta)}$$