半径 $R$、角速度 $\omega$、初期位相 $\delta$ で等速円運動をする質点について、以下の量を求める問題です。 (1) 時刻 $t$ における質点の位置。 (2) 時刻 $t$ における質点の速度。 (3) 時刻 $t$ における質点の加速度。 (4) 質点の位置と速度のなす角の大きさ。 (5) 質点の位置と加速度のなす角の大きさ。

1. 問題の内容

半径 $R$、角速度 $\omega$、初期位相 $\delta$ で等速円運動をする質点について、以下の量を求める問題です。

(1) 時刻 $t$ における質点の位置。

(2) 時刻 $t$ における質点の速度。

(3) 時刻 $t$ における質点の加速度。

(4) 質点の位置と速度のなす角の大きさ。

(5) 質点の位置と加速度のなす角の大きさ。

2. 解き方の手順

(1) 位置

等速円運動における位置は、初期位相 $\delta$ を考慮して、

$x = R\cos(\omega t + \delta)$

$y = R\sin(\omega t + \delta)$

と表されます。したがって、位置ベクトルは $(R\cos(\omega t + \delta), R\sin(\omega t + \delta))$ となります。

(2) 速度

速度は位置の時間微分です。

$v_x = \frac{dx}{dt} = -R\omega\sin(\omega t + \delta)$

$v_y = \frac{dy}{dt} = R\omega\cos(\omega t + \delta)$

したがって、速度ベクトルは $(-R\omega\sin(\omega t + \delta), R\omega\cos(\omega t + \delta))$ となります。

(3) 加速度

加速度は速度の時間微分です。

$a_x = \frac{dv_x}{dt} = -R\omega^2\cos(\omega t + \delta)$

$a_y = \frac{dv_y}{dt} = -R\omega^2\sin(\omega t + \delta)$

したがって、加速度ベクトルは $(-R\omega^2\cos(\omega t + \delta), -R\omega^2\sin(\omega t + \delta))$ となります。

(4) 位置と速度のなす角

位置ベクトル $\vec{r} = (R\cos(\omega t + \delta), R\sin(\omega t + \delta))$

速度ベクトル $\vec{v} = (-R\omega\sin(\omega t + \delta), R\omega\cos(\omega t + \delta))$

内積を計算します。

$\vec{r} \cdot \vec{v} = R\cos(\omega t + \delta)(-R\omega\sin(\omega t + \delta)) + R\sin(\omega t + \delta)(R\omega\cos(\omega t + \delta)) = 0$

$\vec{r} \cdot \vec{v} = |\vec{r}| |\vec{v}| \cos{\theta}$

$0 = R \cdot R\omega \cdot \cos{\theta}$

$\cos{\theta} = 0$

$\theta = \frac{\pi}{2}$

(5) 位置と加速度のなす角

位置ベクトル $\vec{r} = (R\cos(\omega t + \delta), R\sin(\omega t + \delta))$

加速度ベクトル $\vec{a} = (-R\omega^2\cos(\omega t + \delta), -R\omega^2\sin(\omega t + \delta))$

内積を計算します。

$\vec{r} \cdot \vec{a} = R\cos(\omega t + \delta)(-R\omega^2\cos(\omega t + \delta)) + R\sin(\omega t + \delta)(-R\omega^2\sin(\omega t + \delta)) = -R^2\omega^2(\cos^2(\omega t + \delta) + \sin^2(\omega t + \delta)) = -R^2\omega^2$

$\vec{r} \cdot \vec{a} = |\vec{r}| |\vec{a}| \cos{\theta}$

$-R^2\omega^2 = R \cdot R\omega^2 \cdot \cos{\theta}$

$\cos{\theta} = -1$

$\theta = \pi$

3. 最終的な答え

(1)

1. $R (\cos(\omega t + \delta), \sin(\omega t + \delta))$

(2)

2. $R\omega (-\sin(\omega t + \delta), \cos(\omega t + \delta))$

(3)

3. $-R\omega^2 (\cos(\omega t + \delta), \sin(\omega t + \delta))$

(4)

4. $\frac{\pi}{2}$

(5)

5. $\pi$