3階微分 $x'''=0$ の一般解が $x = C_1t^2 + C_2t + C_3$ で与えられている。ただし、$C_1$, $C_2$, $C_3$ は定数である。初期条件 $t=0$ のとき $x = X$, $x' = V$, $x'' = a$ が与えられたとき、この微分方程式の特殊解を求める。

1. 問題の内容

3階微分 $x'''=0$ の一般解が $x = C_1t^2 + C_2t + C_3$ で与えられている。ただし、$C_1$, $C_2$, $C_3$ は定数である。初期条件 $t=0$ のとき $x = X$, $x' = V$, $x'' = a$ が与えられたとき、この微分方程式の特殊解を求める。

2. 解き方の手順

まず、一般解 $x = C_1t^2 + C_2t + C_3$ を時間 $t$ で微分して $x'$ を求める。

$x' = \frac{dx}{dt} = 2C_1t + C_2$

さらに時間 $t$ で微分して $x''$ を求める。

$x'' = \frac{d^2x}{dt^2} = 2C_1$

次に、与えられた初期条件を適用する。

$t=0$ のとき $x=X$ なので、

$X = C_1(0)^2 + C_2(0) + C_3$

$X = C_3$

$t=0$ のとき $x'=V$ なので、

$V = 2C_1(0) + C_2$

$V = C_2$

$t=0$ のとき $x''=a$ なので、

$a = 2C_1$

$C_1 = \frac{a}{2}$

以上より、$C_1 = \frac{a}{2}$, $C_2 = V$, $C_3 = X$ が求まったので、これらを一般解に代入する。

$x = \frac{a}{2}t^2 + Vt + X$

3. 最終的な答え

$x = \frac{a}{2}t^2 + Vt + X$