地上0mから、前方$a = 4.0m$、高さ$h = 3.0m$にある的に向かって、仰角$\theta_0$、初速$v_0$で質量$m$の物体を投げる。物体が的に命中するために必要な最小の初速$v_{min}$と、その時の仰角$\theta_{min}$を求める。ただし、重力加速度の大きさは$g = 9.8 m/s^2$とする。

1. 問題の内容

地上0mから、前方$a = 4.0m$、高さ$h = 3.0m$にある的に向かって、仰角$\theta_0$、初速$v_0$で質量$m$の物体を投げる。物体が的に命中するために必要な最小の初速$v_{min}$と、その時の仰角$\theta_{min}$を求める。ただし、重力加速度の大きさは$g = 9.8 m/s^2$とする。

2. 解き方の手順

まず、水平方向と鉛直方向の運動をそれぞれ考える。

水平方向の運動（等速運動）：

$x = v_0 \cos(\theta_0) t$

ここで、$x = a$となる時間を$t$とすると、

$a = v_0 \cos(\theta_0) t$

$t = \frac{a}{v_0 \cos(\theta_0)}$

鉛直方向の運動（等加速度運動）：

$y = v_0 \sin(\theta_0) t - \frac{1}{2} g t^2$

ここで、$y = h$となる時間を$t$とすると、

$h = v_0 \sin(\theta_0) t - \frac{1}{2} g t^2$

$t$を消去するために、水平方向の式から得られた$t = \frac{a}{v_0 \cos(\theta_0)}$を鉛直方向の式に代入する。

$h = v_0 \sin(\theta_0) \frac{a}{v_0 \cos(\theta_0)} - \frac{1}{2} g (\frac{a}{v_0 \cos(\theta_0)})^2$

$h = a \tan(\theta_0) - \frac{g a^2}{2 v_0^2 \cos^2(\theta_0)}$

$v_0^2 = \frac{g a^2}{2 \cos^2(\theta_0)(a \tan(\theta_0) - h)}$

$v_0 = \sqrt{\frac{g a^2}{2 \cos^2(\theta_0)(a \tan(\theta_0) - h)}}$

$v_0$を最小にするためには、$v_0^2$を最小にすればよい。そのためには、$\frac{g a^2}{2 (a \sin(\theta_0) \cos(\theta_0) - h \cos^2(\theta_0))}$の分母を最大にする必要がある。

$f(\theta_0) = a \sin(\theta_0) \cos(\theta_0) - h \cos^2(\theta_0)$ を最大にする$\theta_0$を求める。

$f'(\theta_0) = a (\cos^2(\theta_0) - \sin^2(\theta_0)) - h (-2 \cos(\theta_0) \sin(\theta_0)) = 0$

$a (\cos^2(\theta_0) - \sin^2(\theta_0)) + 2 h \cos(\theta_0) \sin(\theta_0) = 0$

$a \cos(2\theta_0) + h \sin(2\theta_0) = 0$

$\tan(2\theta_0) = -\frac{a}{h}$

$2\theta_0 = \arctan(-\frac{a}{h})$

$\theta_0 = \frac{1}{2} \arctan(-\frac{a}{h})$

$a = 4.0$, $h = 3.0$を代入すると、

$\theta_0 = \frac{1}{2} \arctan(-\frac{4}{3}) = \frac{1}{2}(-53.13^\circ) \approx -26.56^\circ$

しかし、仰角は負の値を取らないので、$\theta_0$の定義から、

$\tan(2\theta_0) = -\frac{a}{h}$の関係を満たす$\theta_0$を求める。

$2 \theta_{min} = \arctan(-\frac{4}{3}) + \pi$

$2 \theta_{min} \approx -53.13^\circ + 180^\circ \approx 126.87^\circ$

$\theta_{min} \approx 63.43^\circ$

次に、$v_{min}$を求める。

$v_{min} = \sqrt{\frac{g a^2}{2 \cos^2(\theta_{min})(a \tan(\theta_{min}) - h)}}$

$\theta_{min} \approx 63.43^\circ$のとき、$\tan(\theta_{min}) \approx 2$, $\cos(\theta_{min}) \approx 0.447$

$v_{min} = \sqrt{\frac{9.8 \times 4^2}{2 \times 0.447^2 (4 \times 2 - 3)}} = \sqrt{\frac{9.8 \times 16}{2 \times 0.2 (8-3)}} = \sqrt{\frac{156.8}{2}} = \sqrt{78.4} \approx 8.85 m/s$

3. 最終的な答え

$v_{min} \approx 8.85 m/s$

$\theta_{min} \approx 63.43^\circ$