問題は以下の3つです。 1. 位置ベクトル $\mathbf{r} = (x, y, z)$, $r = |\mathbf{r}|$ のとき、以下の値を $\mathbf{r}$ および $r$ を用いて表す。 (1) $\nabla r$ (2) $\nabla^2 r$ (3) $\nabla (r^2 e^{-r})$

1. 問題の内容

問題は以下の3つです。

1. 位置ベクトル $\mathbf{r} = (x, y, z)$, $r = |\mathbf{r}|$ のとき、以下の値を $\mathbf{r}$ および $r$ を用いて表す。

(1) $\nabla r$

(2) $\nabla^2 r$

(3) $\nabla (r^2 e^{-r})$

2. 曲面 $x^2y + 2xz = 16$ の点 $(2, -2, 6)$ における単位法線ベクトル $\mathbf{n}$ を求める。

3. ベクトル場 $\mathbf{A} = e^{-y}(\cos x, -\cos x, \cos x)$ の発散 $\nabla \cdot \mathbf{A}$ および回転 $\nabla \times \mathbf{A}$ を求める。

2. 解き方の手順

1. (1) $\nabla r$ を計算する。$r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$ なので、

$\frac{\partial r}{\partial x} = \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}} = \frac{x}{r}$

$\frac{\partial r}{\partial y} = \frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}} = \frac{y}{r}$

$\frac{\partial r}{\partial z} = \frac{z}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}} = \frac{z}{r}$

したがって、

$\nabla r = \left( \frac{\partial r}{\partial x}, \frac{\partial r}{\partial y}, \frac{\partial r}{\partial z} \right) = \left( \frac{x}{r}, \frac{y}{r}, \frac{z}{r} \right) = \frac{1}{r}(x, y, z) = \frac{\mathbf{r}}{r}$

(2) $\nabla^2 r$ を計算する。$\nabla^2 r = \nabla \cdot (\nabla r) = \nabla \cdot \left(\frac{\mathbf{r}}{r}\right)$

$\nabla \cdot \left(\frac{\mathbf{r}}{r}\right) = \frac{\partial}{\partial x} \left(\frac{x}{r}\right) + \frac{\partial}{\partial y} \left(\frac{y}{r}\right) + \frac{\partial}{\partial z} \left(\frac{z}{r}\right)$

$\frac{\partial}{\partial x} \left(\frac{x}{r}\right) = \frac{r - x \frac{\partial r}{\partial x}}{r^2} = \frac{r - x \frac{x}{r}}{r^2} = \frac{r^2 - x^2}{r^3}$

同様に、$\frac{\partial}{\partial y} \left(\frac{y}{r}\right) = \frac{r^2 - y^2}{r^3}$ および $\frac{\partial}{\partial z} \left(\frac{z}{r}\right) = \frac{r^2 - z^2}{r^3}$

$\nabla^2 r = \frac{r^2 - x^2}{r^3} + \frac{r^2 - y^2}{r^3} + \frac{r^2 - z^2}{r^3} = \frac{3r^2 - (x^2 + y^2 + z^2)}{r^3} = \frac{3r^2 - r^2}{r^3} = \frac{2r^2}{r^3} = \frac{2}{r}$

(3) $\nabla (r^2 e^{-r})$ を計算する。

$\nabla (r^2 e^{-r}) = \frac{\partial}{\partial x} (r^2 e^{-r}) \mathbf{i} + \frac{\partial}{\partial y} (r^2 e^{-r}) \mathbf{j} + \frac{\partial}{\partial z} (r^2 e^{-r}) \mathbf{k}$

$\frac{\partial}{\partial x} (r^2 e^{-r}) = (2r e^{-r} - r^2 e^{-r}) \frac{\partial r}{\partial x} = (2r e^{-r} - r^2 e^{-r}) \frac{x}{r} = (2e^{-r} - r e^{-r})x$

同様に、$\frac{\partial}{\partial y} (r^2 e^{-r}) = (2e^{-r} - r e^{-r})y$ および $\frac{\partial}{\partial z} (r^2 e^{-r}) = (2e^{-r} - r e^{-r})z$

$\nabla (r^2 e^{-r}) = (2e^{-r} - r e^{-r})(x, y, z) = (2e^{-r} - r e^{-r})\mathbf{r}$

2. 曲面 $f(x, y, z) = x^2y + 2xz - 16 = 0$ の勾配ベクトルを計算する。

$\nabla f = (2xy + 2z, x^2, 2x)$

点 $(2, -2, 6)$ における勾配ベクトルは $\nabla f(2, -2, 6) = (2(2)(-2) + 2(6), 2^2, 2(2)) = (-8 + 12, 4, 4) = (4, 4, 4)$

勾配ベクトルの大きさは $|\nabla f(2, -2, 6)| = \sqrt{4^2 + 4^2 + 4^2} = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}$

単位法線ベクトルは $\mathbf{n} = \frac{\nabla f}{|\nabla f|} = \frac{(4, 4, 4)}{4\sqrt{3}} = \frac{(1, 1, 1)}{\sqrt{3}} = \left(\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}\right)$

3. ベクトル場 $\mathbf{A} = e^{-y}(\cos x, -\cos x, \cos x)$ の発散 $\nabla \cdot \mathbf{A}$ および回転 $\nabla \times \mathbf{A}$ を計算する。

$\mathbf{A} = (e^{-y}\cos x, -e^{-y}\cos x, e^{-y}\cos x)$

$\nabla \cdot \mathbf{A} = \frac{\partial}{\partial x} (e^{-y}\cos x) + \frac{\partial}{\partial y} (-e^{-y}\cos x) + \frac{\partial}{\partial z} (e^{-y}\cos x)$

$\nabla \cdot \mathbf{A} = -e^{-y}\sin x + e^{-y}\cos x + 0 = e^{-y}(\cos x - \sin x)$

$\nabla \times \mathbf{A} = \left( \frac{\partial A_z}{\partial y} - \frac{\partial A_y}{\partial z}, \frac{\partial A_x}{\partial z} - \frac{\partial A_z}{\partial x}, \frac{\partial A_y}{\partial x} - \frac{\partial A_x}{\partial y} \right)$

$\nabla \times \mathbf{A} = \left( \frac{\partial}{\partial y}(e^{-y}\cos x) - \frac{\partial}{\partial z}(-e^{-y}\cos x), \frac{\partial}{\partial z}(e^{-y}\cos x) - \frac{\partial}{\partial x}(e^{-y}\cos x), \frac{\partial}{\partial x}(-e^{-y}\cos x) - \frac{\partial}{\partial y}(e^{-y}\cos x) \right)$

$\nabla \times \mathbf{A} = \left( -e^{-y}\cos x - 0, 0 - (-e^{-y}\sin x), e^{-y}\sin x - (-e^{-y}\cos x) \right)$

$\nabla \times \mathbf{A} = \left( -e^{-y}\cos x, e^{-y}\sin x, e^{-y}(\sin x + \cos x) \right) = e^{-y}(-\cos x, \sin x, \sin x + \cos x)$

3. 最終的な答え

1. (1) $\nabla r = \frac{\mathbf{r}}{r}$

(2) $\nabla^2 r = \frac{2}{r}$

(3) $\nabla (r^2 e^{-r}) = (2e^{-r} - r e^{-r})\mathbf{r}$

2. $\mathbf{n} = \left(\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}\right)$

3. $\nabla \cdot \mathbf{A} = e^{-y}(\cos x - \sin x)$

$\nabla \times \mathbf{A} = e^{-y}(-\cos x, \sin x, \sin x + \cos x)$