直径 $d_1 = 200 \text{ mm}$ の円管1と、直径 $d_2 = 150 \text{ mm}$ の円管2が滑らかに接続されている。管内を水が流れており、管1の流速は $v_1 = 3 \text{ m/s}$ である。水の密度は $\rho = 1000 \text{ kg/m}^3$ とする。 (1) 管2での流速を $v_2$ として、管1, 2に関する体積流量に関する連続の式を記述する。 (2) 体積流量と質量流量を求める。 (3) 管2での流速 $v_2$ を求める。

1. 問題の内容

直径 $d_1 = 200 \text{ mm}$ の円管1と、直径 $d_2 = 150 \text{ mm}$ の円管2が滑らかに接続されている。管内を水が流れており、管1の流速は $v_1 = 3 \text{ m/s}$ である。水の密度は $\rho = 1000 \text{ kg/m}^3$ とする。

(1) 管2での流速を $v_2$ として、管1, 2に関する体積流量に関する連続の式を記述する。

(2) 体積流量と質量流量を求める。

(3) 管2での流速 $v_2$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) 連続の式を記述する。非圧縮性流体の連続の式は、断面積 $A$ と流速 $v$ を用いて $A_1 v_1 = A_2 v_2$ と表される。円管の断面積は $A = \pi (d/2)^2$ なので、

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\pi (d_1/2)^2 v_1 = \pi (d_2/2)^2 v_2

$$$$

となる。これを整理すると、

$$$$

(d_1/2)^2 v_1 = (d_2/2)^2 v_2

$$$$

すなわち

$$$$

d_1^2 v_1 = d_2^2 v_2

$$$$

(2) 体積流量 $Q$ は $Q = A_1 v_1 = A_2 v_2$ で求められる。

$d_1 = 200 \text{ mm} = 0.2 \text{ m}$ なので、$A_1 = \pi (0.2/2)^2 = \pi (0.1)^2 = 0.01\pi \text{ m}^2$ となる。

したがって、$Q = A_1 v_1 = 0.01\pi \times 3 = 0.03\pi \text{ m}^3/\text{s} \approx 0.0942 \text{ m}^3/\text{s}$。

質量流量 $\dot{m}$ は $\dot{m} = \rho Q$ で求められる。

$\dot{m} = 1000 \times 0.03\pi = 30\pi \text{ kg/s} \approx 94.2 \text{ kg/s}$。

(3) 連続の式 $d_1^2 v_1 = d_2^2 v_2$ より、$v_2 = (d_1/d_2)^2 v_1$ である。

$v_2 = (200/150)^2 \times 3 = (4/3)^2 \times 3 = (16/9) \times 3 = 16/3 \approx 5.33 \text{ m/s}$。

3. 最終的な答え

(1) $d_1^2 v_1 = d_2^2 v_2$

(2) 体積流量: $0.03\pi \text{ m}^3/\text{s} \approx 0.0942 \text{ m}^3/\text{s}$

質量流量: $30\pi \text{ kg/s} \approx 94.2 \text{ kg/s}$

(3) $v_2 = \frac{16}{3} \text{ m/s} \approx 5.33 \text{ m/s}$