地上に置かれた熱気球に関する問題です。 (1) 地上において気球が受ける浮力を求めます。 (2) 気球が浮上するために必要な、風船内部の空気密度の条件を求めます。 (3) 風船内部の空気密度が(2)で求めた条件を満たすときの、気球内部の絶対温度を求めます。 記号の定義： - $T$: 地上の絶対温度 - $M$: 空気を除いた気球の質量 - $V$: 風船部分の体積 - $\rho$: 絶対温度$T$の時の空気の密度 - $P$: 地上付近の大気圧 - $R$: 気体定数 - $g$: 重力加速度

1. 問題の内容

地上に置かれた熱気球に関する問題です。

(1) 地上において気球が受ける浮力を求めます。

(2) 気球が浮上するために必要な、風船内部の空気密度の条件を求めます。

(3) 風船内部の空気密度が(2)で求めた条件を満たすときの、気球内部の絶対温度を求めます。

記号の定義：

- $T$: 地上の絶対温度

- $M$: 空気を除いた気球の質量

- $V$: 風船部分の体積

- $\rho$: 絶対温度$T$の時の空気の密度

- $P$: 地上付近の大気圧

- $R$: 気体定数

- $g$: 重力加速度

2. 解き方の手順

(1) 浮力は、アルキメデスの原理より、排除した空気の重さに等しくなります。気球の体積は$V$なので、排除した空気の質量は$\rho V$となります。したがって、浮力$F_B$は

$F_B = \rho V g$

(2) 気球が浮上する条件は、浮力$F_B$が気球全体の重力$F_G$より大きくなることです。気球全体の重力$F_G$は、気球自体の重さ$Mg$と、風船内部の空気の重さ$\rho' V g$の和になります。ただし、$\rho'$は風船内部の空気密度です。

したがって、

$F_G = Mg + \rho' V g$

浮上する条件は、$F_B > F_G$なので、

$\rho V g > Mg + \rho' V g$

$\rho' V g < \rho V g - Mg$

$\rho' < \rho - \frac{M}{V}$

したがって、$\rho' < \rho - \frac{M}{V}$のとき、気球は浮上します。よって、$\rho' = \rho - \frac{M}{V}$

(3) 風船内部の空気密度が$\rho' = \rho - \frac{M}{V}$のときの絶対温度$T'$を求めます。

理想気体の状態方程式より、$PV = nRT$であり、$n = \frac{m}{分子量} = \frac{\rho V}{分子量}$です。したがって、$P = \frac{\rho R T}{分子量}$となります。

$\frac{分子量}{R}$は定数なので、これらをまとめて$k$とおくと、$P = k\rho T$です。

風船内部の圧力は外部の圧力と等しいので、$P$は一定です。

したがって、$k\rho T = k\rho' T'$より、$\rho T = \rho' T'$となります。

$T' = \frac{\rho}{\rho'} T = \frac{\rho}{\rho - \frac{M}{V}} T = \frac{\rho V}{\rho V - M} T$

3. 最終的な答え

(1) 浮力: $\rho V g$

(2) $\rho' = \rho - \frac{M}{V}$

(3) 絶対温度: $\frac{\rho V}{\rho V - M} T$