ベクトル場 $F = (x\log y, y\log z, z\log x)$ の発散 $\text{div} \, F$ を求める。

1. 問題の内容

ベクトル場 $F = (x\log y, y\log z, z\log x)$ の発散 $\text{div} \, F$ を求める。

2. 解き方の手順

ベクトル場 $F = (P, Q, R)$ の発散は、次の式で与えられます。

$\text{div} \, F = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}$

ここで、$P = x\log y$, $Q = y\log z$, $R = z\log x$ です。

それぞれの偏微分を計算します。

$\frac{\partial P}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (x\log y) = \log y$

$\frac{\partial Q}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (y\log z) = \log z$

$\frac{\partial R}{\partial z} = \frac{\partial}{\partial z} (z\log x) = \log x$

したがって、

$\text{div} \, F = \log y + \log z + \log x$

対数の性質を用いてまとめると、

$\text{div} \, F = \log(xyz)$

3. 最終的な答え

$\text{div} \, F = \log(xyz)$