位置ベクトル $\vec{r} = (x, y, z)$, $r = |\vec{r}|$のとき、以下の量を $\vec{r}$ および $r$ を用いて表す。 (1) $\nabla r$ (2) $\nabla^2 r$ (3) $\nabla (r^2 e^{-r})$ 曲面 $x^2 y + 2xz = 16$ の点 $(2, -2, 6)$ における単位法線ベクトル $\vec{n}$ を求める。 ベクトル場 $\vec{A} = e^{-y}(\cos x, -\cos x, \cos x)$ の発散 $\nabla \cdot \vec{A}$ および回転 $\nabla \times \vec{A}$ を求める。

1. 問題の内容

位置ベクトル $\vec{r} = (x, y, z)$, $r = |\vec{r}|$のとき、以下の量を $\vec{r}$ および $r$ を用いて表す。

(1) $\nabla r$

(2) $\nabla^2 r$

(3) $\nabla (r^2 e^{-r})$

曲面 $x^2 y + 2xz = 16$ の点 $(2, -2, 6)$ における単位法線ベクトル $\vec{n}$ を求める。

ベクトル場 $\vec{A} = e^{-y}(\cos x, -\cos x, \cos x)$ の発散 $\nabla \cdot \vec{A}$ および回転 $\nabla \times \vec{A}$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) $\nabla r$ を求める。

まず、$r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$ である。したがって、

$\frac{\partial r}{\partial x} = \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}} = \frac{x}{r}$

同様に、

$\frac{\partial r}{\partial y} = \frac{y}{r}$

$\frac{\partial r}{\partial z} = \frac{z}{r}$

よって、

$\nabla r = \left(\frac{\partial r}{\partial x}, \frac{\partial r}{\partial y}, \frac{\partial r}{\partial z}\right) = \left(\frac{x}{r}, \frac{y}{r}, \frac{z}{r}\right) = \frac{1}{r}(x, y, z) = \frac{\vec{r}}{r}$

(2) $\nabla^2 r$ を求める。

$\nabla^2 r = \nabla \cdot (\nabla r) = \nabla \cdot \left(\frac{\vec{r}}{r}\right) = \nabla \cdot \left(\frac{x}{r}, \frac{y}{r}, \frac{z}{r}\right)$

$\nabla^2 r = \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{x}{r}\right) + \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{y}{r}\right) + \frac{\partial}{\partial z}\left(\frac{z}{r}\right)$

$\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{x}{r}\right) = \frac{r - x\frac{x}{r}}{r^2} = \frac{r^2 - x^2}{r^3}$

同様に、

$\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{y}{r}\right) = \frac{r^2 - y^2}{r^3}$

$\frac{\partial}{\partial z}\left(\frac{z}{r}\right) = \frac{r^2 - z^2}{r^3}$

$\nabla^2 r = \frac{r^2 - x^2}{r^3} + \frac{r^2 - y^2}{r^3} + \frac{r^2 - z^2}{r^3} = \frac{3r^2 - (x^2 + y^2 + z^2)}{r^3} = \frac{3r^2 - r^2}{r^3} = \frac{2r^2}{r^3} = \frac{2}{r}$

(3) $\nabla (r^2 e^{-r})$ を求める。

$\nabla (r^2 e^{-r}) = \frac{\partial}{\partial x}(r^2 e^{-r}) \hat{i} + \frac{\partial}{\partial y}(r^2 e^{-r}) \hat{j} + \frac{\partial}{\partial z}(r^2 e^{-r}) \hat{k}$

$\frac{\partial}{\partial x}(r^2 e^{-r}) = (2r e^{-r} - r^2 e^{-r}) \frac{\partial r}{\partial x} = (2r e^{-r} - r^2 e^{-r}) \frac{x}{r} = (2e^{-r} - r e^{-r}) x$

同様に、

$\frac{\partial}{\partial y}(r^2 e^{-r}) = (2e^{-r} - r e^{-r}) y$

$\frac{\partial}{\partial z}(r^2 e^{-r}) = (2e^{-r} - r e^{-r}) z$

$\nabla (r^2 e^{-r}) = (2e^{-r} - r e^{-r}) (x, y, z) = (2e^{-r} - r e^{-r}) \vec{r}$

2. 曲面 $x^2 y + 2xz = 16$ の点 $(2, -2, 6)$ における単位法線ベクトル $\vec{n}$ を求める。

$f(x, y, z) = x^2 y + 2xz$ とおくと、$\nabla f = (2xy + 2z, x^2, 2x)$

点 $(2, -2, 6)$ での $\nabla f$ は $\nabla f(2, -2, 6) = (2(2)(-2) + 2(6), 2^2, 2(2)) = (-8 + 12, 4, 4) = (4, 4, 4)$

$|\nabla f(2, -2, 6)| = \sqrt{4^2 + 4^2 + 4^2} = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}$

したがって、単位法線ベクトル $\vec{n} = \frac{\nabla f}{|\nabla f|} = \frac{(4, 4, 4)}{4\sqrt{3}} = \frac{(1, 1, 1)}{\sqrt{3}} = \left(\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}\right)$

3. ベクトル場 $\vec{A} = e^{-y}(\cos x, -\cos x, \cos x)$ の発散 $\nabla \cdot \vec{A}$ および回転 $\nabla \times \vec{A}$ を求める。

$\vec{A} = (e^{-y} \cos x, -e^{-y} \cos x, e^{-y} \cos x)$

$\nabla \cdot \vec{A} = \frac{\partial}{\partial x}(e^{-y} \cos x) + \frac{\partial}{\partial y}(-e^{-y} \cos x) + \frac{\partial}{\partial z}(e^{-y} \cos x)$

$= -e^{-y} \sin x + e^{-y} \cos x + 0 = e^{-y}(\cos x - \sin x)$

$\nabla \times \vec{A} = \left|\begin{array}{ccc} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ e^{-y} \cos x & -e^{-y} \cos x & e^{-y} \cos x \end{array}\right|$

$= \hat{i}\left(\frac{\partial}{\partial y}(e^{-y} \cos x) - \frac{\partial}{\partial z}(-e^{-y} \cos x)\right) - \hat{j}\left(\frac{\partial}{\partial x}(e^{-y} \cos x) - \frac{\partial}{\partial z}(e^{-y} \cos x)\right) + \hat{k}\left(\frac{\partial}{\partial x}(-e^{-y} \cos x) - \frac{\partial}{\partial y}(e^{-y} \cos x)\right)$

$= \hat{i}(-e^{-y} \cos x - 0) - \hat{j}(-e^{-y} \sin x - 0) + \hat{k}(e^{-y} \sin x + e^{-y} \cos x)$

$= (-e^{-y} \cos x, e^{-y} \sin x, e^{-y}(\sin x + \cos x))$

$= e^{-y}(-\cos x, \sin x, \sin x + \cos x)$

3. 最終的な答え

(1) $\nabla r = \frac{\vec{r}}{r}$

(2) $\nabla^2 r = \frac{2}{r}$

(3) $\nabla (r^2 e^{-r}) = (2e^{-r} - r e^{-r}) \vec{r}$

曲面の単位法線ベクトル: $\vec{n} = \left(\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}\right)$

$\nabla \cdot \vec{A} = e^{-y}(\cos x - \sin x)$

$\nabla \times \vec{A} = e^{-y}(-\cos x, \sin x, \sin x + \cos x)$