## 回答

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1. 問題の内容

Q4: 半径 $R$ の円軌道を運動する質点があり、角度 $\theta$ の時間変化が $\theta(t) = \theta_0 + \omega t$ で与えられています。

(1) 質点の座標 $\mathbf{r}$ を $t$ の関数として、デカルト座標で成分表示してください。

(2) 質点の速度 $\mathbf{v}$ を $t$ の関数として、デカルト座標で成分表示してください。

(3) 質点の加速度 $\mathbf{a}$ が円の中心方向を向くことを証明してください。

Q5: 2次元平面上の点Pの運動が $\mathbf{r} = [(t^2+t-2), (t^2-2t+4)]$ で表されます。

(1) Pの速度と加速度をデカルト座標で成分表示してください。

(2) Pがy軸を通過する点はどこですか。

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2. 解き方の手順

#### Q4 (1)

質点の座標は、円運動の定義から $x = R \cos(\theta)$, $y = R \sin(\theta)$ で与えられます。$\theta(t) = \theta_0 + \omega t$ を代入すると、

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x(t) = R \cos(\theta_0 + \omega t) \\

y(t) = R \sin(\theta_0 + \omega t)

$$$$

となります。したがって、質点の座標は

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\mathbf{r}(t) = (R \cos(\theta_0 + \omega t), R \sin(\theta_0 + \omega t))

$$$$

です。

#### Q4 (2)

速度 $\mathbf{v}$ は、座標 $\mathbf{r}$ の時間微分で与えられます。

$$$$

v_x(t) = \frac{d}{dt} x(t) = \frac{d}{dt} (R \cos(\theta_0 + \omega t)) = -R\omega \sin(\theta_0 + \omega t) \\

v_y(t) = \frac{d}{dt} y(t) = \frac{d}{dt} (R \sin(\theta_0 + \omega t)) = R\omega \cos(\theta_0 + \omega t)

$$$$

したがって、質点の速度は

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\mathbf{v}(t) = (-R\omega \sin(\theta_0 + \omega t), R\omega \cos(\theta_0 + \omega t))

$$$$

です。

#### Q4 (3)

加速度 $\mathbf{a}$ は、速度 $\mathbf{v}$ の時間微分で与えられます。

$$$$

a_x(t) = \frac{d}{dt} v_x(t) = \frac{d}{dt} (-R\omega \sin(\theta_0 + \omega t)) = -R\omega^2 \cos(\theta_0 + \omega t) \\

a_y(t) = \frac{d}{dt} v_y(t) = \frac{d}{dt} (R\omega \cos(\theta_0 + \omega t)) = -R\omega^2 \sin(\theta_0 + \omega t)

$$$$

したがって、質点の加速度は

$$$$

\mathbf{a}(t) = (-R\omega^2 \cos(\theta_0 + \omega t), -R\omega^2 \sin(\theta_0 + \omega t))

$$$$

これは、$\mathbf{a}(t) = -\omega^2 \mathbf{r}(t)$ と書けます。マイナス符号は、加速度が位置ベクトル $\mathbf{r}(t)$ と反対方向、すなわち円の中心方向を向いていることを示しています。

#### Q5 (1)

点Pの速度 $\mathbf{v}$ は、位置ベクトル $\mathbf{r}$ の時間微分で与えられます。

$$$$

\mathbf{r}(t) = (t^2 + t - 2, t^2 - 2t + 4)

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$$$$

v_x(t) = \frac{d}{dt} (t^2 + t - 2) = 2t + 1 \\

v_y(t) = \frac{d}{dt} (t^2 - 2t + 4) = 2t - 2

$$$$

したがって、点Pの速度は

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\mathbf{v}(t) = (2t + 1, 2t - 2)

$$$$

です。

点Pの加速度 $\mathbf{a}$ は、速度 $\mathbf{v}$ の時間微分で与えられます。

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a_x(t) = \frac{d}{dt} (2t + 1) = 2 \\

a_y(t) = \frac{d}{dt} (2t - 2) = 2

$$$$

したがって、点Pの加速度は

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\mathbf{a}(t) = (2, 2)

$$$$

です。

#### Q5 (2)

点Pがy軸を通過するのは、$x$座標が0になるときです。

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t^2 + t - 2 = 0

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この2次方程式を解くと、

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(t + 2)(t - 1) = 0

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したがって、$t = -2$ または $t = 1$ です。

$t = -2$ のとき、$y = (-2)^2 - 2(-2) + 4 = 4 + 4 + 4 = 12$。

$t = 1$ のとき、$y = (1)^2 - 2(1) + 4 = 1 - 2 + 4 = 3$。

したがって、点Pがy軸を通過する点は $(0, 12)$ と $(0, 3)$ です。

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3. 最終的な答え

**Q4**

(1) $\mathbf{r}(t) = (R \cos(\theta_0 + \omega t), R \sin(\theta_0 + \omega t))$

(2) $\mathbf{v}(t) = (-R\omega \sin(\theta_0 + \omega t), R\omega \cos(\theta_0 + \omega t))$

(3) $\mathbf{a}(t) = (-R\omega^2 \cos(\theta_0 + \omega t), -R\omega^2 \sin(\theta_0 + \omega t))$. $\mathbf{a}(t) = -\omega^2 \mathbf{r}(t)$ より、加速度は円の中心方向を向く。

**Q5**

(1) 速度: $\mathbf{v}(t) = (2t + 1, 2t - 2)$ 加速度: $\mathbf{a}(t) = (2, 2)$

(2) $(0, 12)$, $(0, 3)$