与えられた3つの極限を計算します。 (1) $\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x}$ (2) $\lim_{x \to \pi} \frac{\sin(x - \pi)}{x - \pi}$ (3) $\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} (x - \frac{\pi}{2}) \tan x$

1. 問題の内容

与えられた3つの極限を計算します。

(1) $\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x}$

(2) $\lim_{x \to \pi} \frac{\sin(x - \pi)}{x - \pi}$

(3) $\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} (x - \frac{\pi}{2}) \tan x$

2. 解き方の手順

(1) $\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x}$

$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$なので、

$\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x \cos x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{1}{\cos x}$

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ であり、 $\lim_{x \to 0} \cos x = 1$ なので、

$\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1 \cdot \frac{1}{1} = 1$

(2) $\lim_{x \to \pi} \frac{\sin(x - \pi)}{x - \pi}$

$t = x - \pi$ と置くと、$x \to \pi$ のとき、$t \to 0$ となります。

$\lim_{x \to \pi} \frac{\sin(x - \pi)}{x - \pi} = \lim_{t \to 0} \frac{\sin t}{t} = 1$

(3) $\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} (x - \frac{\pi}{2}) \tan x$

$t = x - \frac{\pi}{2}$ と置くと、$x \to \frac{\pi}{2}$ のとき、$t \to 0$ となります。また、$x = t + \frac{\pi}{2}$ です。

$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} (x - \frac{\pi}{2}) \tan x = \lim_{t \to 0} t \tan (t + \frac{\pi}{2}) = \lim_{t \to 0} t (-\cot t) = \lim_{t \to 0} -t \frac{\cos t}{\sin t} = \lim_{t \to 0} -\cos t \cdot \lim_{t \to 0} \frac{t}{\sin t}$

$\lim_{t \to 0} \frac{t}{\sin t} = 1$ であり、$\lim_{t \to 0} \cos t = 1$ なので、

$\lim_{t \to 0} (x - \frac{\pi}{2}) \tan x = -1 \cdot 1 = -1$

3. 最終的な答え

(1) $\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1$

(2) $\lim_{x \to \pi} \frac{\sin(x - \pi)}{x - \pi} = 1$

(3) $\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} (x - \frac{\pi}{2}) \tan x = -1$